Déterminant

I_n la matrice identité d'ordre n
A = ((a_ij)) où i est l'indice des lignes et j l'indice des colonnes
A₁, ..., A_n ses n colonnes : A=(A₁, ..., A_n).

Théorème : Il existe une unique application , appelée déterminant vérifiant les propriétés suivantes

(D₁) pour tout j=1,..., n, pour tous a et b appartenant à K, pour A₁,..., A_n et B_j des vecteurs colonnes, + .
(D₂) s'il existe un indice j tel que , .
(D₃) .

La propriété (D₂) est vraie même si les colonnes ne sont pas à côté l'une de l'autre, nous le démontrons à partir des propriétés telles qu'elles ont été énoncés ici :

(D2') s'il existe des indices j et k tels que , .

Conséquences immédiates de la définition

Echanger deux colonnes consécutives change le signe du déterminant.
Démonstration

d'après (D₂).

= =
+ +

d'après (D₁),

=
d'après (D₂).
Donc,
S'il existe deux indices j et k différents tels que A_j = A_k = B,

Si deux colonnes sont égales ou proportionnelles, le déterminant est nul.
Démonstration
En échangeant successivement la i-ième colonne avec sa voisine de manière à l'amener à la place j-1, on se retrouve dans le cas où les deux colonnes égales sont côte à côte (d'après la propriété précédente, le signe a peut-être changé).
si ,
Echanger deux colonnes consécutives change le signe du déterminant.
Démonstration
On réapplique la même astuce que dans le premier cas, en utilisant et en développant.

si
On ne change pas le déterminant en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes.
Démonstration
+

d'après (D₁),

d'après (D₂).

Si où B est mis à la place de la m-ième colonne.
Démonstration
=
= +...+
+...+

d'après (D₁)
=
d'après (D₂)
=

Petits cas

Pour n=1, on a nécessairement .

Pour n=2, on a nécessairement

det = det = det + det = a det + c det = a ( det + det ) + c (det +det ) = a ( 0 + d) det + c ( b det + 0) = ad -bc

Développement par rapport à une colonne

Soit A_ij la matrice extraite de A obtenue en enlevant la i-ième ligne et la j-ième colonne. Alors,

Idée de la démonstration

Faisons la démonstration pour le développement par rapport à la première colonne. On écrit avec E_i le vecteur colonne formé de 0 sauf à la i-ième ligne où il y a 1. On a grâce à (D₁)

Regardons le terme

Par exemple, ici i = 5

En faisant des manipulations sur les colonnes du type remplacer A_k par A_k - a_ik E_i, on obtient que où est la colonne A_k où on remplace le i-ième élément par 0.

Exemple :

On remarque alors que l'application qui à une matrice B d'ordre n-1 associe avec la matrice colonne obtenue à partir de B en rajoutant un 0 à la place i, vérifie les deux premières propriétés du déterminant et vaut sur l'identité I_n-1. Donc .

Exemple :

Dans l'exemple ci-dessus, par rapport à quelle colonne a-t-on développé ?

Démonstration de l'existence et de l'unicité

Supposons par récurrence que l'existence et l'unicité de det sont démontrés sur M_n-1(K) avec n>1. La fonction déterminant sur M_n-1(K) est notée en vert : det

Suposons l'existence de det sur M_n(K) et montrons son unicité.

Fixons deux entiers i et j. A une matrice B=(b_ij) de M_n-1(K), on attache la matrice B(i,j) obtenue en rajoutant une colonne à la place i et une ligne à la place j formées de 0 sauf à leur intersection où l'on met 1 :
Par exemple :

La fonction B (-1)^i+j det B(i,j) satisfait toutes les propriétés pour le déterminant sur M_n-1(K) et lui est donc égale : pour D₁ et (D₂), faites-le ! le signe garantit la condition pour (D₃), car d'après (D₁), si on part de la matrice Id(i,j), après échanges de colonnes voisines, le coefficient 1 arrive sur la diagonale et le signe est devenu 1.
Le faire par exemple pour Id(2,3)=
Par (D₁) et (D₃) (voir conséquences immédiates ), det B(i,j)) ne change pas si on met n'importe quel coefficient à la i-ième ligne hors la j-ième colonne.
Si la fonction det existe pour M_n,n(K), on trouve par (D₁) la formule pour tout indice de ligne i entre 1 et n :

det A = (-1)^i+j a_ijdet A_ij. où A_ij est la matrice extraite, c'est-à-dire la matrice A privée de sa i-ième ligne et de sa j-ième colonne. Le membre de droite est fait avec des déterminants d'ordre n-1 dont on sait qu'ils existent et sont uniques par hypothèse de récurrence. Cela démontre l'unicité de det sur M_n,n(K).

Démontrons l'existence de det sur M_n(K).

Définissons une fonction sur M_n(K) provisoirement appelée det_i par la formule det_i A = (-1)^i+j a_ijdet A_ij .

(développement par rapport à la i-ième ligne) :

pour i=1 :

= + + + +

Elle vérifie (D₁) : justification

Soit k l'indice de la colonne où l'on a remplacé A_k par aA_k+ bB_k et la matrice extraite correspondant à la matrice (A₁,...,B_k,...A_n). Dans la somme définissant det_i A, a_ik est remplacé par a_ik+b_ik et A_ik ne change pas ; par contre pour j différent de k, a_ij ne change pas et det A_ij est remplacé par det A_ij + det en utilisant la propriété (D₁) pour det.

Elle vérifie (D₂) : justification

Soit l'indice k tel que les colonnes d'indice k et d'indice k+1 soient égales. Les matrices extraites A_ij intervenant dans la formule ont toutes deux colonnes égales et sont donc nulles sauf les matrices extraites A_ik et A_{i k+1} qui sont égales : det_i A = (-1)^i+k a_ikdet A_ik+ (-1)^i+k+1 a_ikdet A_ik+1=0 .

Elle vérifie (D₃) : justification

det_i I_n=(-1)^j+j det I_n-1=1

L'unicité prouve de plus que les fonctions det_i ainsi définies sont tous égales.

Matrice triangulaire

Si A est une matrice triangulaire inférieure, le déterminant de A est le produit de ses coefficients diagonaux a_{i i} : on a .

Démonstration

On raisonne par récurrence. On développe par rapport à la première colonne si la matrice est triangulaire supérieure et par rapport à la dernière colonne si la matrice est triangulaire inférieure.

Exemple : Le déterminant de

est égal à fois le déterminant de .

Par récurrence, il vaut

Matrice inversible et déterminant

Théorème : Le déterminant d'une matrice carrée A d'ordre n est nul si et seulement si le rang de A est strictement inférieur à n, c'est-à-dire si et seulement si A n'est pas inversible.

Démonstration :

Si rg A < n, un des vecteurs-colonne de A est combinaison linéaire des n-1 autres. Donc .
Si rg A = n, alors A est inversible, on se ramène par des manipulations de colonnes (par la méthode des pivots) à une matrice triangulaire dont les éléments diagonaux sont tous non nuls. A chaque transformation, le déterminant est multiplié par un scalaire non nul. Donc, .

Ainsi,

Théorème : Pour que n vecteurs d'un espace vectoriel de dimension n forment une base, il faut et il suffit que le déterminant de la matrice formée avec leurs composantes dans une base quelconque soit non nul.

La valeur absolue du déterminant d'une base a une interprétation géométrique si l'on utilise le produit scalaire naturels de l'espace vectoriel comme volume du parallépipède construit à partir de la base.

Multiplicativité

Théorème : Si A et B sont deux matrices carrées d'ordre n; . En particulier, si A est inversible,

Démonstration :

Si B n'est pas inversible, A B ne l'est pas non plus et on a bien 0 = 0. Si B est inversible, neq

0. L'application F : M_n(K)

K définie par vérifie toutes les propriétés du théorème-définition (exercice). Par unicité, on a donc .

Transposition

Théorème : Si A^t est la transposée

La transposée de la matrice ((a_ij)) est la matrice ((a_ji)). Par exemple, la transposée de est la matrice .

de la matrice A,

On peut ainsi développer le déterminant par rapport à une ligne et les propriétés du théorème-définition restent vraies si on remplace les colonnes par les lignes.

Exercices

Exercice : Des questions auxquelles il faut répondre très vite

Exercices :

Applications des règles de multilinéarité
Applications des règles de permutation
Applications de la multiplicativité
Produit
Calcul de déterminant I
Calcul de déterminant II
Calcul de déterminant "à la Gauss"
Déterminant paramétré Déterminant paramétré

Exercice : Déterminant et rang

Déterminant de n vecteurs

Soit E un espace vectoriel de dimension n et calB

une base.

Définition : Soit (v₁, ... , v_n) n vecteurs. On appelle déterminant de (v₁, ... v_n) dans la base calB

le déterminant de la matrice des composantes des v_i dans la base calB

. On le note .

Proposition : Le déterminant de n vecteurs dans une base dépend de la base : Si calB

' est une autre base, si P est la matrice de passage de calB

', on a

Produit mixte

Considérons un espace vectoriel E de dimension n muni d'un produit scalaire. Choisissons une base orthonormée.

Soit muni du produit scalaire où v = (x_i), v' = (x₁',...,x_n'). Dans ce cas, la base canonique (e₁,...,e_n) est orthonormée, c'est-à-dire vérifie si i=j et 0 sinon.

Théorème : Le déterminant de la matrice de passage d'une base orthonormée à une autre base orthonormée est égale à

1 .

Démonstration : la matrice de passage P vérifie P P^t= Id. Donc on a .

Une fois choisie une base orthonormée , le déterminant sépare les bases orthonormées en deux sous-ensembles :

celles telles que le déterminant de la matrice de passage de est égal à 1 (on les appelle base orthonormée directe)
celles dont le déterminant de la matrice de passage de est égale à -1 (on les appelle base orthonormée indirecte).

Définition : Soit E un espace vectoriel de dimension n muni d'un produit scalaire (euclidien) et d'une base orthonormée de référence. On appelle produit mixte de n vecteurs v₁,..., v_n (on note aussi (v₁,..., v_n)) le déterminant de v₁,..., v_n dans la base ou ce qui revient au même dans toute base orthonormée directe.

Produit vectoriel

Soit un espace vectoriel E de dimension n muni d'un produit scalaire et d'une base orthonormée .

Définition : Soit n-1 vecteurs v₁,..., v_n-1. On appelle produit vectoriel de v₁,..., v_n-1 l'unique vecteur noté tel que

pour tout vecteur w de E.

Un tel vecteur existe grâce au théorème suivant :

Théorème : Soit un espace vectoriel E de dimension n muni d'un produit scalaire. Soit f une forme linéaire de E dans

. Alors, il existe une unique vecteur a dans E tel que .

Exemple : Prenons n=2 : le produit vectoriel de v est le vecteur déduit de v par une rotation d'angle : on doit en effet avoir . Si les composantes de v, w et dans la base sont respectivement (a, b), (x,y) et (c,d), on doit avoir ay - bx = cx + d y pour tous x et y dans K. Donc les composantes de sont (-b, a).

Produit vectoriel : propriétés

Les propriétés suivantes se déduisent de la définition et des propriétés du déterminant :

Soit i un entier entre 1 et n-1. L'application est linéaire :

Définition : On dit que est une forme n-1-linéaire.
Définition : On dit que est une forme n-1-linéaire alternée.
est perpendiculaire à chacun des vecteurs v_j
Démonstration :
ce qui est nul par la propriété (D2') du déterminant

Le calcul des composantes du produit vectoriel de deux vecteurs en dimension 3 est une conséquence de la formule de développement par rapport à la dernière colonne : Si w est de composantes (w₁,..., w_n) dans la base et si A est la matrice des vecteurs colonnes de v₁,...v(n-1) dans la base , on a où la matrice obtenue à partir de A en enlevant la i-ième ligne.

Si les vecteurs sont linéairement indépendants, est non nul et la famille de vecteurs

forment une base directe : le déterminant de ces vecteurs dans la base est strictement positif .

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Dernière modif. 20041212

Déterminant

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