Extremums en plusieurs variables

Vous vous promenez sur un chemin de montagne.

• Vous êtes très sportif et vous désirez aller le plus haut possible dans la région dont vous avez la carte.
• Vous êtes un peu moins sportif, vous vous contentez de suivre le chemin indiqué. A la fin de la journée, vous désirez savoir quel est le point le plus haut ou le plus bas où vous êtes passé.

L'altitude est une fonction f de deux variables, la position (x, y) sur la carte.

• Dans le premier cas, vous cherchez à trouver le maximum de la fonction f.

• Dans le deuxième cas, le chemin est représenté par une contrainte entre x et y donnée par une équation g(x,y) = 0. La question est donc de trouver les points M₀ vérifiant g(M₀) tels que f soit extrémale en M₀ parmi les points vérifiant g(M) = 0.

Voici les deux problèmes que nous allons étudier dans ce qui suit. Cela n'est pas un cours complet, mais donne quelques idées reliées à des exercices à faire.

I Problème d'extrema sans contraintes

II Problème d'extrema avec contraintes

III Retour sur un problème d'extrema sur un domaine

I-1 Rappel sur les fonctions d'une variable réelle

I-2 Topologie

I-3 Définitions

I-4 Existence

I-5 Condition nécessaire et points critiques

I-6 Etude locale d'un point critique

I-7 Représentation graphique d'un extremum

I-8 Méthode

Dans le cas d'une fonction d'une variable sur un segment, que fait-on pour trouver les maximums d'une fonction ?

Voici un petit échantillon de fonctions pour lesquelles les extremums sont obtenus de manière différente :

Sur un segment [ a , b],

• On sait que si la fonction est continue, elle admet un extremum . Elle admet un maximum et un minimum atteint en un point de I.

  La question est ensuite de savoir le trouver.

• On cherche les points où la dérivée de la fonction existe et est nulle

  Aide

  Si la fonction f est derivable et a un extremum dans , il est atteint en un réel c où la dérivée de f s annule.

  On calcule sa valeur en ces points.

• On regarde la valeur de la fonction sur les bords c'est-à-dire en a et b et on compare avec les valeurs aux points où la dérivée s'annule.

• Et on n'oublie pas de regarder aux points où la fonction f n'est pas dérivable ou pas continue.

Sur un segment ,

• On ne sait pas si la fonction admet un extremum ou est bornée.

• Si la fonction est dérivable, si l'extremum existe et est atteint en c, la dérivée de f s'annule en c.

Soit D un sous-ensemble de .

Définition

Définition

Le bord de D est aussi le bord de son complémentaire.

Définition

Définition

Soit f une fonction d'un sous-ensemble D de dans et A un point de D.

Définition

Définition

Soit f une fonction d'un sous-ensemble D de dans et A un point de D qui est à l'intérieur de D.

Définition

Définition

Théorème

En particulier, une telle fonction est bornée sur D.

Le théorème précédent assure l'existence d'extrema sous certaines conditions. Il ne reste plus qu'à chercher comment les trouver.

Théorème

La condition nécessaire qui vient d'être donnée ne concerne que les points de qui sont à l'intérieur de .

Démonstration

Fin de la démonstration

Exercice

Points critiques

Exercice

Points critiques

Pour déterminer si un point critique est un extremum, on doit faire une étude plus précise de la fonction :

Dans le cas d'une fonction d'une variable réelle , l'outil de démonstration est la formule de Taylor Aide

C'est la même chose ici :

Théorème

Soit M₀ un point critique de f. Considérons le trinôme

)

1. si Q_M0(X) est strictement positif pour tout X, f a un minimum local en M₀ ;

2. si Q_M0(X) est strictement négatif pour tout X, f a un maximum local en M₀ ;

3. si Q_M0(X) a deux racines réelles distinctes , on dit que f a un point col en M₀ ;

4. si Q_M0(X) a deux racines réelles confondues , on dit que le point critique M₀ de f est dégénéré . Autrement dit, on ne sait rien dire.

Démonstration

Fin de la démonstration

Exercice

Pour trouver les points critiques, on a donc trouvé une condition analytique. Attention le théorème n'assure pas que l'on a un extremum. Il s'agit d'une condition nécessaire.

On cherche donc les extrema parmi

1. les points critiques

2. les points où f n'est pas pas de classe C¹ ;

3. sur les points de qui sont sur le bord.

Le troisième cas n'arrive pas dans le cas où est ouvert. Mais dans ce cas l'existence d'un extremum n'est pas assurée.

Exemple de toutes sortes.

Exercice

Exercice

Exercice

II-1 Définition

II-2 Condition nécessaire et points critiques

II-3 Condition nécessaire dans le cas de deux conditions

II-4 Méthode

II-5 Exercices

Définition

La représentation graphique de la contrainte peut être une courbe dans le cas de ou une surface dans le cas de . Il peut aussi y avoir plusieurs contraintes : deux contraintes dans signifient en général que les points sont sur une courbe.

Soit g une fonction C¹ définie sur un ouvert de et f une fonction C¹ définie sur un ouvert U. On suppose que l'ensemble des points de U tels que g(M) = 0 est non vide.

Théorème

Autrement dit, dans le cas de , la courbe C définie par g(x,y) = 0 est tangente en M₀ à la courbe de niveau de f qui passe par le point M₀.

Démonstration

Fin de la démonstration

Soient f, g₁ et g₂ trois fonctions C¹ de

Théorème

Autrement dit, lorsque grad g₁(M₀ ) et grad g₂(M₀ ) engendrent un plan (ce qui se produit en général), le gradient de f en M₀ appartient à ce plan.

C'est ce qu'on appelle les conditions de Lagrange.

Le problème et le théorème ont des généralisations à des dimensions plus grandes, mais nous nous contenterons ici de ces cas-là.

Les extrema d'une fonction f soumise à une ou plusieurs contraintes g₁(x,y) = 0, g₂(x,y) = 0, ... doivent être cherchés

1. parmi les points M où les fonctions ne sont pas C¹, parmi les points où les grad g_i(M) sont des vecteurs liés (par exemple nuls).

2. parmi les points M où grad f (M) appartient à l'espace vectoriel engendré par grad g₁(M), grad g₂(M) ... (points critiques ou points vérifiant la condition de Lagrange)

3. aux bords s'il y en a.

Dans le cas d'une seule contrainte g(M) = 0, la deuxième condition dit que grad f (M) est colinéaire à grad g (M) en un tel point M.

Exercice

Exercice

Exercice

Exercice

Exercice

Soit une fonction et un sous-ensemble de défini par

où g est une fonction de dans .

Pour trouver le maximum et minimum absolu de f sur :

• Trouver tous les points critiques de f dans l'intérieur de , c'est-à-dire les points de où le gradient de f est nul.

• Trouver les points critiques de f restreint au bord de : on peut par exemple utiliser la méthode des extrema liés, il s'agit alors de trouver les points M vérifant g(M) = 0 et tel que grad f (M ) est colinéaire à grad g (M ).

Si le bord peut se décrire de manière explicite (par exemple une coordonnée s'exprimant en fonction des autres), on peut aussi exprimer la restriction de f à comme une fonction de n - 1 variables dont il faut trouver les extrema.

Exercice

Aide