Analyse vectorielle
Guide
- Motivation
- Préliminaires
- Champ de vecteurs
- Formes différentielles
- Intégration le long d'une courbe
- Caractérisation des champs de gradients
- Théorème de Green-Riemann
Documents
par exemple pour
n=5,
Un sous-espace affine est
le translaté d'un sous-espace vectoriel (appelé sa direction vectorielle).
Par exemple
, l'ensemble des points de
vérifiant
x1 +1.8x2 =1.7 est une droite affine. Sa direction vectorielle est d'équation
x1 +1.8x2 =0.
On
peut donc définir la continuité d'une fonction d'un ouvert
de
dans
.
L'ensemble des
tels que
0< x< 3 et
-1<y<1 est un ouvert .
Ainsi, à un point de
, on associe un vecteur
F(x,y)
.
Motivation
Si
f est une fonction continue d'un intervalle
I = [a,b] dans 
, on définit l'intégrale de
a à
b de la fonction
f :
.
Il y a deux propriétés de l'intégration que l'on voudrait généraliser lorsqu'on se place
dans
ou
:
b, on peut interpréter
comme une
aire
On a donc relié l'intégrale d'une fonction à une aire, c'est-à-dire à l'intégrale
double
dx dy. Cela s'exprimera plus tard comme le théorème de Green :
Ainsi, l'aire du domaine
Df limité par
le graphe de la fonction
f pour
f(x)= x2-x+1 et
x dans [0.2,2.3]
et les segments
OA,
OB et
BC
est égale à
Préliminaires
. On appelle alors ses éléments des
vecteurs .
Prenez le aléatoire
ou
si
u = (x1, ... ,xn) et
v = (y1 , ... ,yn), alors Champ de vecteurs
Champ de vecteurs
.
.
|
.
| . |
Ne pas confondre avec un champ scalaire sur
qui est pour le
mathématicien une fonction d'un domaine de
dans
En posant
M = (x1, x2, x3, x4)
,
Pour plus de détails relatifs aux fonctions de plusieurs variables, au gradient et aux courbes de niveau, voir
Fonctions de plusieurs variables
Par exemple, la projection
est une forme linéaire de
, notons-la
.
De même, la projection
est une forme linéaire, notons-la
.
Toute forme linéaire est représentée (dans la base usuelle
(e 1 , e 2 , e 3 ) de
) par une matrice à une ligne et
3 colonnes (a 1 ,a 2 ,a 3 ) et on a
Par exemple pour
n=5
, cela s'écrit
Exemples de champ
. Par exemple,
le champ de température est la fonction donnant la température en un point le champ de pression
est la fonction donnant la température en un point.
Le gradient
f :
f (x1, x2, x3, x4)= (D1 f(x1, x2, x3, x4), D2 f(x1, x2, x3, x4), D3 f(x1, x2, x3, x4), D4 f(x1, x2, x3, x4))
f =
D1 f e1 + D2 f e2 + D3 f e3 + D4 f e4
dans
dans
.
Champ de vecteurs associé à une équation différentielle
Soit
f une fonction sur un ouvert
de
.
On considère une équation différentielle
y' = f(x,y) et on lui associe le champ de vecteurs suivant :
à un point
M = (x,y) de
,
on associe le vecteur unitaire de direction
(1,f(x,y)). C'est donc le vecteur
.
Si
est une
solution sur un intervalle
I, on a
et le vecteur tangent à la courbe d'équation
en un point est
colinéaire au champ de vecteurs associé à l'équation différentielle.
Systèmes différentiels
Soit
Le champ associé au système différentiel
.
Formes différentielles
Rappels sur les formes linéaires
sur l'espace vectoriel
est une application linéaire de
dans
.
(x,y,z )=(x e 1+ye 2+ze 3 )= x( e 1)+y(e 2)+z(e 3)
= x a 1+ya 2+za 3
= (a 1 e 1* + a 2 e 2* + a 3 e 3* )(x,y,z )
=a 1 e 1* + a 2 e 2* + a 3 e 3*
Formes différentielles
Commencer par des
rappels sur les formes linéaires
avant la définition suivante :
(de degré 1) sur un ouvert
de
est la donnée en chaque point
M de
d'une forme linéaire
. En coordonnées,
(M)= P1(M)e 1* + P 2(M) e 2* + P 3(M) e 3* + P 4(M) e 4* + P 5(M) e 5*
(x,y)= P(x,y)e 1*+ Q(x,y)e 2*
= Pe 1*+ Qe 1*
I
est une bijection d'un intervalle
J sur
I, continue, dérivable,
à dérivée continue et strictement positive .
Prenons
n=3
. La nouvelle courbe
paramétrée est donnée par C=(C1
,C2
,C3
) avec C1 (
)=
c1 (
un 
sur
une courbe
C1 fermée sans points doubles entourant un
domaine 
et orientée de manière à avoir