Surfaces paramétrées
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Etude rapide des surfaces paramétrées, calcul de l'aire d'une surface, flux d'un champ de vecteurs à travers une surface. Formules de Stokes-Green.
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De même que pour les courbes paramétrées, une surface paramétrée est fournie avec son paramétrage.
On peut aussi ne regarder que l'image
f(
Solution
si
A est le point de coordonnées
(a , b , c) et
V1 et
V2 les vecteurs
(a1 , b1 , c1) et
(a2 , b2 , c2).
Solution
Solution
Solution
Solution
avec
u > 0 et
.
Surface d'Enneper :
De même,
peut être noté
.
Un tel point est appelé point régulier.
Ainsi, si
Le lien entre les deux méthodes est donné par la formule
Pour tester qu'un vecteur
V est dans le plan tangent, on peut vérifer que son produit scalaire avec
N est nul ou, ce qui revient au même que le déterminant de
V,
D1(f)(u0,v0) et
D2(f)(u0,v0) est nul.
Remarque : l'indépendance des deux vecteurs
D1(f)(u0 , v0) et
D2(f)(u0 , v0) permet de montrer que localement, la surface ressemble au graphe
d'une fonction
z = g(x,y), comme dans le cas des courbes paramétrées.
Les deux vecteurs
D1(f)(u0, v0) et
D2(f)(u0, v0)
sont deux vecteurs du plan tangent en
M0 = f(u0, v0). Ainsi, le vecteur normal est normal au plan tangent.
Vecteur normal au cône
On prend donc comme paramètres
On a alors
Vecteur normal à la sphère
=
=
Le carré de la norme de
N est égal à
. Donc
En particulier,
N est nul si l'angle
Vecteur normal au cylindre
On prend donc comme paramètres
On a alors
Vecteur normal à un
On prend donc comme paramètres
r > 0 et
.
On a alors
Vecteur normal à une surface de révolution
On prend donc comme paramètres
z et
On a alors
La "justification" de cette formule est la suivante :
On retrouve donc bien l'aire du domaine
D au sens usuel.
Aire d'une surface plane II
.
On retrouve la formule de changements de variables dans le cas des intégrales
doubles.
Aire d'une surface définie par une équation explicite
Donc l'aire de la surface est égale
Il s'agit d'une intégrale double à ne pas confondre avec la longueur d'une
courbe.
Aire d'une surface sphérique
=
=
Le carré de la norme de
N est égal à
. Donc
En particulier,
N est nul si l'angle
L'élément de surface est donc
car
est positif entre -
L'aire de la
surface
sur la sphère correspondant au quartier d'orange
est
L'aire de la
surface
sur la sphère correspondant à
est
Par exemple l'aire de la sphère de rayon 1 est
4
Aire d'une surface de révolution
L'aire pour
est donnée par la formule
.
On peut démontrer que cette définition est bien indépendante du paramétrage choisi.
L'intégrale de surface (ou flux) de
F est donnée par
Ainsi,
est ici une notation pour
et
est le produit scalaire de
F et de
.
Si
est le vecteur normal unitaire, on a
soit non nul.
On dit encore que
La matrice précédente est appelée matrice jacobienne.
Ce déterminant est appelé
jacobien.
=
+
+
Ce champ est parallèle au plan
xOy. On a
En partant de
A et en suivant le sens des flèches, on commence par suivre le parallèle inférieur ; revenu au point de départ
B, on monte par le méridien d'angle
jusqu'en
C, on reprend un parallèle dans le sens contraire jusqu'à
D=C et on redescend le long du méridien d'angle
donc dans le sens contraire de la première fois. Ainsi, ayant recollé
et
, l'image des segments
et
"disparaît" comme bord, et le bord de la surface est simplement formé des deux parallèles d'angle
et
parcourues dans un sens contraire.
On les appellera "régions ou volumes simples fermées".
Le bord est formé des morceaux suivants
Cela généralise à la dimension 3 le
théorème de Green
On peut appliquer ce théorème à des volumes dont le bord est "en deux morceaux" : par exemple, le volume compris entre une sphère de rayon
r et une sphère de rayon
R de même centre
O avec
r < R à condition
de bien orienter la surface (même question qu'en
dimension 2
où cela est plus facile à représenter). Dans le cas précédent, la normale est
On en déduit le théorème de Gauss :
On peut réinterpréter cette formule de la manière suivante : On remarque que
Démonstration
Cela généralise à la dimension 3 le
théorème de Green
On peut réinterpréter cette longueur comme l'intégrale curviligne sur
c(a) du champ de vecteurs
F défini par
Surfaces
Introduction
Les surfaces peuvent être données de plusieurs manières différentes
) de l'application
f ; c'est un sous-ensemble de
qu'on appelle aussi surface dans
(à condition qu'elle ne soit pas dégénérée ...)
Exemple fondamental
dans 
. On lui associe la surface
paramétrée d'équation
Exemples : parallélogramme, cône, sphère, cylindre ...
et
r :
et
, ils
sont bien sûr liés aux coordonnées sphériques:
et
z, ils sont bien sûr liés aux coordonnées cylindriques :
Quelques surfaces paramétrées à tracer
Hélicoïde :
Plan tangent
Pour
(u0 , v0) 
, le vecteur
de
est
de composantes
est une surface paramétrée
C1,
(u0,v0) , si
M0 est le
point de la surface de paramètre
(u0 , v0) :
M0 = f(u0,v0) et si
et
sont deux vecteurs de
linéairement indépendants, on
appelle plan tangent au point
M0 = f(u0 , v0) de paramètres
(u0 , v0) le plan engendré par ces deux
vecteurs et passant par le point
M0.
est lisse
si
et
sont indépendants pour tous paramètres
(u0,v0).
est lisse, le plan tangent existe pour tous les paramètres. La condition d'indépendance se traduit par
Calculer le plan tangent
Pour trouver l'équation de ce plan, on peut utiliser les méthodes équivalentes
suivantes :
Vecteur normal
Exemples de calcul de vecteurs normaux
Vecteur normal à un parallélogramme
et
z.
est égal à
,
c'est-à-dire au pôle. Il y a pourtant un plan tangent en ce point, mais il ne
peut pas être défini avec la recette précédente avec ce paramétrage.
et
z.
.
Exercices
Aire et intégrales de surface
Aire
:
(u , v) 
f(u,v) une surface paramétrée. On appelle élément de surface
un
domaine borné. Soit :
(u,v)
f(u,v) une surface paramétrée
telle que
f soit injective. L'aire
A() de ) est donnée
par la formule
)=
Exemples de calcul d'aires
Aire d'une surface plane
, est égal à
pour
la paramétrisation choisie.
est égal à
,
c'est-à-dire au pôle. Il y a pourtant un plan tangent en ce point, mais il ne
peut pas être défini avec la recette précédente avec ce paramétrage.
/2 et /2.
.
Intégrale de surface
est une surface paramétrée par
(u,v)
f(u,v)
, on note
comme
Flux à travers une surface
une surface paramétrée contenue dans
U et donnée par
le paramétrage :
(u,v)
est un difféomorphisme
C1.
Exemple de flux
une surface décrite par une équation explicite
z = g(x,y).
Soit
F = (P , Q , R) un champ sur , alors
une portion de sphère unité :
,
Soit
F = (P , Q , R) un champ sur , alors
Exercices de calcul de flux
paramétrée comme auparavant.
Propriétés du flux
Théorèmes fondamentaux
Bord d'une surface
On généralise la formule de Green-Riemann (surfaces/courbes) à des surfaces qui
ne sont plus planes .
un
domaine de
de bord une courbe 
. Soit une surface paramétrée
donnée par
(u,v) 
f(u,v). On appelle
bord de l'image de par
f. On le note
. On suppose que le bord de vérifie les hypothèses du théorème de Green et en particulier est bien orienté. On prend sur le bord de l'orientation qui se déduit de celle de
.
Attention, il s'agit d'une paramétrisation de la couronne, pas du patron de la couronne.
Théorème du flux-rotationnel
comme dans la définition.
Soit
F un champ de vecteurs
C1 à valeurs dans
défini sur un
ouvert
U contenant =
f(). Alors, le flux de
à travers la
surface est égal à la circulation de
F le long du bord de :
Exemple : formule de Green-Riemann
est
un domaine dans un plan horizontal paramétré par
Volumes et orientation
Pour énoncer la formule de Stokes ici, on considère des volumes de
du type suivant :
est un domaine du plan du même style ;
de
(celle ci peut ne pas exister par exemple dans le cas de la sphère).
Théorème de Stokes
une région solide simple et soit 
le bord de orienté
positivement, lisse par morceaux. Soit
F un champ de vecteurs
C1 sur un
ouvert de
contenant .
Alors,
Conséquences du théorème de Stokes
Exercices
Angle solide
Soit une surface et
O un point tel que toute demi-droite passant par
O ne coupe qu'en au plus un point.
vu de
O est l'ensemble des demi-droites issues de
O et coupant . Maintenant, si
a est un réel strictement positif, soit
S(a) l'intersection de la sphère de centre
O et de rayon
a et de l'angle solide
.
La mesure de l'angle solide
est définie comme le quotient de l'aire de
S(a) par
a2 :
une surface,
O un point tel que toute demi-droite passant par
O ne coupe qu'en au plus un point.
et soit par exemple "entre
O et calS.
Soit la surface
S' formée de , de
S(a) et de la surface
S1 des segments reliant le bord de
S(a) et le bord de sur les droites passant par
O. Cette surface est le bord d'un domaine . On l'oriente par la normale sortante. On a alors
par le
théorème de Stokes
une région solide simple et soit le bord de orienté
positivement, lisse par morceaux. Soit
F un champ de vecteurs
C1 sur un
ouvert de
contenant .
Alors,
.
une courbe et
O un point tel que toute demi-droite issue de
O coupe la courbe en au plus un point. Si () est l'angle interceptant la courbe du point
O, on a
| courbe bordée par des points dans
|
= | ||||
| courbe bordée par des points dans | = | ) | |||
| courbe sans (points) bord dans | = | 0 | |||
| domaine bordé par une courbe dans | = | , | |||
| domaine bordé par une courbe dans | = | ||||
| surface bordée par une courbe dans | = | ||||
| surface sans bord dans | = | 0 | |||
| volume bordé par une surface dans | = |
|
|||
| volume bordé par une surface dans | = |
Pour un volume sans bord, allez faire un tour dans ! et je n'ai pas pu représenter la boule à l'intérieur de la sphère...
| élément d'aire dans | dA | dxdy | ||
| élément de volume dans | dV | dxdydz |
(
l'angle de
avec
xOy) |
|
| élément curviligne dans | (dx,dy,dz) | |||
| élément de longueur sur une courbe | ||||
| élément d'aire dans | ||||
| élément de surface dans |