OEF série de Fourier
--- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 13 exercices préliminaires sur les séries de Fourier.

Addition Fourier (amplitudes proches)

Voici deux sinusoides :

xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot blue,       xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot blue,

Parmi les dessins suivants, lesquel représente la somme de ces deux sinusoides ?
xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot red,   xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot red,   xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot red,   xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot red,
     

Addition Fourier (amplitudes diff.)

Voici deux sinusoides :

xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot blue,       xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot blue,

Parmi les dessins suivants, lequel représente la somme de ces deux sinusoides ?
xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot red,   xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot red,   xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot red,   xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot red,
     

Addition Fourier en phase

Voici deux sinusoides correspondant aux fonctions et (on peut remarquer qu'elles sont en phase) :

xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot blue,       xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot blue,

Parmi les dessins suivants, lequel représente ?
xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot red,   xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot red,   xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot red,   xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot red,
     

Addition Fourier (en phase ?)

Le dessin suivant représente la somme de deux sinusoides. Sont-elles en phase ? en opposition de phase, ni l'un ni l'autre ?

xrange -2*pi,2*pi yrange -, hline 0,0,black plot red,

Ordre de décroissance

Voici une fonction sur l'intervalle [0 , ] qui est de classe et quelques valeurs de cette fonction :
trange 0,*pi plot red, t,
On peut la prolonger de plusieurs manières sur en une fonction périodique :
               
et donc lui associer plusieurs séries de Fourier. Pour chacun des séries de Fourier ci-dessous, donner le nom du dessin correspondant, puis l'ordre de décroissance des coefficients et , décroissance des coefficients et des coefficients
  • , décroissance des coefficients
  • , décroissance des coefficients
    • (la réponse la plus précise compte-tenu des informations est demandée.)

    Reconnaissance de graphes

    Parmi les quatre graphes suivants pour ,lequel représente celui de la fonction donnée par

    xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot red, xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot red, xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot red, xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot red,

    Fourier : homothétie

    Soit une fonction -périodique (périodique de période ). Son développement de Fourier est de la forme

     ( ) +  ( )

    La fonction définie par est -périodique et son développement de Fourier est

    cos  ( ) + sin  ( )

    Fourier : parité

    Soit une fonction définie sur [0, ]. Le développement en série de Fourier de la fonction de période et qui coïncide avec sur [0, ] est de la forme

     ( )

    avec
    = int  

    Fourier : translation

    Soit une fonction -périodique (périodique de période ). Son développement de Fourier est de la forme

     ( x) +  ( )

    La fonction définie par est -périodique et son développement de Fourier est

    cos  ( ) + sin  ( )

    avec

    * + *

    * + *

    (On ne cherchera pas à simplifier les réponses pour et )

    Reconnaissance de graphes (période)

    Le graphe suivant est celui d'une fonction de la forme
    pour xrange -pi,pi yrange -, hline 0,0,black vline 0,0,black plot red,

    Que vaut ?

    Représentation de fonctions périodiques

    Voici une fonction sur l'intervalle [0, ].

    trange 0,*pi plot red, t,

    Elle coïncide sur l'intervalle [0, ] avec la fonction définie sur par

    ,

    les coefficients étant à priori non nuls. Parmi les dessins suivants, lequel représente ?
                   
    A B C

    Spectre de Fourier créneau

    On regarde une fonction en créneau de période du type suivant

    xrange -0.5,0.5+4* yrange -2,0.5+2* hline 0,0, black vline 0,0,black vline 2*,0,grey lines red, 0,2*,2*/,2*,2*/,0,2*,0,2*,2*,2*+2*/,2*,2*+2*/,0,4*,0 text black , /(2*) , -1,medium, T/h arrow 0,-0.5, 2*/,-0.5,10,black arrow 2*/,-0.5,0,-0.5, 10,black text black , 2* , -0.5,medium, T

    Pour un certain entier , le spectre de Fourier est

    xrange -0.5, yrange -1, hline 0,0, black

    La décroissance du spectre est en .

    Donner la valeur de h (il s'agit d'un entier). La valeur du spectre en est . Calculer la hauteur du créneau.

    Spectre de Fourier (triangle)

    On regarde une fonction en triangle de période du type suivant (modèle pour la corde de guitare pincée)
    xrange -0.5,4* yrange -0.5-2*,0.5+2* hline 0,0, black vline 0,0,black vline 2*,0,grey vline 4*,0,grey lines red, 0,0,2*/,2*,2*,0,2*+2*/,-2*,4*,0 text black , /(2*) , -1,medium, T/h arrow 0,-0.5, 2*/,-0.5,10,black arrow 2*/,-0.5,0,-0.5, 10,black text black , 2* , -0.5,medium, T
    Pour un certain entier , le spectre de Fourier est
    xrange -0.5, yrange -1, hline 0,0, black
    (les premières valeurs du spectre peuvent avoir été tronquées)

    La décroissance du spectre est en .

    Donner la valeur de h (il s'agit d'un entier). La valeur du spectre en est . Calculer la hauteur du triangle.

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