OEF min-max2
--- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 12 exercices sur les extrema des fonctions de deux variables.

Distance d'un point à une conique

Quelle est la distance de la courbe d'équation

à l'origine ?

xrange -, + yrange -, + parallel -,0,+,0,0,1,40,grey parallel -,0,+,0,0,-1,40,grey parallel 0,-,0,+,1,0,40,grey parallel 0,-,0,+,-1,0,40,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black levelcurve darkred, , levelcurve green,

Commencer par répondre aux questions suivantes:
On interprète ce problème comme un problème d'extrema liés.

Il s'agit donc trouver le minimum de la fonction de deux variables définie par

soumise à la contrainte

Avec et , on a

grad ( , )

grad ( , )

Ces deux vecteurs sont liés au point si leur déterminant

est égal à . Rappelons que grad et grad sont liés si

Donner la valeur du point critique pour laquelle est minimum sur la courbe .

A=( , )

La distance minimale de la courbe au point est donc égale à

L'exercice a plusieurs étapes

Distance d'un point à une courbe*

Quelle est la distance de la courbe d'équation

à l'origine ?

xrange -, + yrange -, + parallel -,0,+,0,0,1,40,grey parallel -,0,+,0,0,-1,40,grey parallel 0,-,0,+,1,0,40,grey parallel 0,-,0,+,-1,0,40,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black levelcurve darkred, , levelcurve green,

Commencer par répondre aux questions suivantes :
On interprète ce problème comme un problème de maxima liés.

Il s'agit donc trouver le maximum de la fonction de deux variables définie par

soumise à la contrainte

Avec et , on a

grad ( , )

grad ( , )

Ces deux vecteurs sont liés au point si leur déterminant

est égal à . Ainsi, grad et grad sont liés si

Donner la valeur d'un point critique pour laquelle est minimum sur la courbe , )

La distance minimale de la courbe au point est donc égale à

Fonction affine sur une ellipse

Calculer le point où est atteint le de la fonction définie par

soumis aux contraintes

et .

Extremum I

Soit une fonction de deux variables de dans RR de classe et un point de . On suppose que :

, ,

, , .

Le point est-il un point critique? Le point est un

Extremum II

Soit la fonction de dans RR définie par

.

Le point est un :

Point critique et courbes de niveau

Soit une fonction de deux variables de dans RR de classe et un point de . On suppose qu'au voisinage de , on a :

epsilon

où la fonction epsilon tend vers 0 lorsque tend vers . Parmi les trois dessins suivants, lequel peut représenter les lignes de niveau de au voisinage de ?

Maximum (avec bord, canalisation)

On construit une canalisation de forme trapézoidale avec une plaque de largeur . Quelles sont les valeurs optimales de la longueur du côté incliné et de l'angle qu'il fait avec la verticale pour que le flux passant dans la gouttière soit maximal ?

xrange -3.5, 3.5 yrange -3.5, 3.5 linewidth 3 arc 3.3, 3,3, 240,300, black lines green ,-3,1,-2,-1, 2,-1,3,1 line -3,1,3,1, red fill 0,0, skyblue transparent red xrange -4.5, 4.5 yrange -4.5, 4.5 line -2,-1,-2,1,black text black,-3,1, medium, y text black,-3.5,0, medium, x arc -2,-1,2,2, 90,130, black linewidth 3 lines green ,-4,1,-2,-1, 2,-1,4,1

Commencer par répondre aux questions suivantes: On note la longueur du côté incliné et l'angle comme sur le dessin.
La surface à rendre maximum est donnée par la fonction donnée par

sur le domaine défini par

leq x leq    leq y leq

Calculer le point critique de qui se trouve à l'intérieur du domaine , )

et la valeur de la fonction en ce point : Pour information, voici les lignes de niveau de xrange -0.5, yrange -0.5, parallel -1,0,,0,0,1,40,grey parallel -1,0,,0,0,-1,40,grey parallel 0,-1,0,,1,0,40,grey parallel 0,-1,0,,-1,0,40,grey levelcurve darkred, , vline 0,0, black hline 0,0, black linewidth 3 lines green, 0,0,0,pi/2, /2,pi/2, /2,0,0,0 linewidth 1 arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black disk ,, 5,blue

Quel est le maximum de sur le bord de Conclure : Le petit côté vaut et l'angle (en radians) est

L'exercice a plusieurs étapes

Extremum sur un domaine à bord

Trouver le global de la fonction définie par

sur la région triangulaire fermée de sommets , et en répondant d'abord aux questions suivantes :
Combien de points critiques y-a-t-il à l'intérieur de ? On a .

xrange , yrange , fpoly grey,,, text black, , medium, A text black, , medium,B text black, , medium,C

L'exercice a plusieurs étapes

Maximum d'un volume avec conditions I

Calculer le volume du plus grand parallélépipède rectangle en répondant d'abord aux questions suivantes :

Calculer le volume comme une fonction de . Le domaine de définition de la fonction donnée par correspondant au problème posé est un triangle :

leq leq   ,   leq leq

Quelles hypothèses doit-on utiliser pour en déduire que admet un maximum sur défini par les inégalités

(mettez-en le moins possible même si certaines des conditions sont réalisées) : Combien de points critiques la fonction donnée par a-t-elle à l'intérieur de Le point critique de à l'intérieur de est ( , ). La fonction est nulle sur les bords de . Comme la fonction admet un maximum, qu'elle est à valeurs positives et qu'elle est nulle sur le bord, le point critique est nécessairement un maximum

Calculer les longueurs , et des trois côtés correspondant à la boîte de volume maximal et ce volume .

L'exercice a plusieurs étapes

Maximum d'un volume avec conditions II

Quel est le volume maximum d'une boîte rectangulaire sans couvercle fabriquée avec de carton ?

Commencer par répondre aux questions suivantes

On interprète ce problème comme un problème de maxima liés.
Il s'agit donc trouver le maximum de la fonction de trois variables définie par

soumise à la contrainte

Avec et on a

grad ( , , )

grad ( , , )

Ces deux vecteurs sont liés au point si leur produit vectoriel

( , , )

est égal à . La valeur de (donnant le volume) pour un point dont une des coordonnées est nulle est égale à . un tel point un maximum. Ainsi, grad et grad sont liés si

Il y a un seul point critique pour ce problème dont toutes les coordonnées sont non nulles, il s'agit du point

( , , )

et le volume correspondant vaut

L'exercice a plusieurs étapes

Méthode des moindres carrés

On a quelques raisons de croire que deux grandeurs et sont reliées par une relation affine . Les données expérimentales donnent les points suivants :

Chercher l'équation de la droite par la méthode des moindres carrés : on minimise la somme des carrés des déviations

y= x +

xrange -1,+1 yrange -1,+1 hline black, 0,0 vline black, 0,0 arrow 0,0,0,1,10,black arrow 0,0,1,0,10,black plot red , ()*x+()

Distance aux tangentes d'une conique

Calculer le point de la conique calC d'équation dont la tangente à calC est à la plus grande distance du point .

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