OEF séries entières
--- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 9 exercices sur les séries entières.

Critères de d'Alembert et de Cauchy

Soit la suite définie par

.

et la série entière de rayon de convergence . Peut-on Le rayon de convergence est = . S'il est infini, répondre infini.

Développement en série entière

On désire développer en série entière la fonction .

Son rayon de convergence est et on a dans le disque de convergence

Equations différentielles 1

On se donne l'équation différentielle

.

On suppose que la solution est une série entière de la forme . Ses coefficients vérifient une relation de récurrence.
Quel est l'ordre de la récurrence ?

Quelle est la relation de récurrence pour n assez grand ?

* + * an- + * an- =0 * + * an- + * an- + * an- =0

Equations différentielles 2

Une série entière de la forme vérifie la condition de récurrence

.

L'équation différentielle qu'elle vérifie est alors

+ + + . + + .

Rayon de convergence

Trouver le rayon de convergence du développement en série entière de la fonction .

Si le rayon est infini, répondre infini.

Rayon de convergence 2

Calculer le rayon de convergence du développement en série entière de .

Séries entières (comparaison)

Soit une suite de nombres complexes telle qu'il existe deux nombres réels et tels que

.

L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse?

Le rayon de convergence de la série entière est .

Rayon de convergence (séries entières)

Soit une suite de nombres complexes telle que L'affirmation suivante est-elle toujours vraie ou quelquefois fausse :
Le rayon de convergence de la série entière vérifie .

Séries entières (rayon de convergence)

Le rayon de convergence de la série entière est .

Peut-on calculer exactement le rayon de convergence de la série ? Le rayon de convergence de la série entière est supérieur ou égal à

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