OEF Groupes abéliens --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 16 exercices sur les groupes abéliens de type fini. D'autres exercices de même type mais utilisant le vocabulaire des ZZ-modules se trouvent dans le module OEF ZZ-modules.

Exposant

Soit , et trois nombres premiers distincts. Soit le groupe

L'exposant de est égal à , son cardinal est .

Pour écrire , écrire p^3. Mettre * pour le produit ou laisser un espace.

Construction d'un homomorphisme

On considère l'homomorphisme de ZZ to tel que l'image de 1 est . L'image de est

mod

on donnera la réponse sous la forme du représentant entre 0 et -1.

L'homomorphisme se factorise en un homomorphisme injectif

ZZ/ ZZ to


Structure du groupe des morphismes

Soient
.
Soit le groupe des morphismes de groupes abéliens de dans . Donner la suite des facteurs invariants de .

On donnera la suite des facteurs invariants sous la forme avec avec des entiers nuls ou strictement supérieurs à 1 et vérifiant .


Invariants de sous-groupes abéliens

Soit le groupe abélien libre . On note et .

On considère le sous-groupe de engendré par les éléments et . On désire calculer les invariants (diviseurs élémentaires) de . L'exercice comporte 3 étapes. Attention, même si vous vous trompez, cela ne vous sera dit qu'à la fin.

Donnez un homomorphisme de dans ZZ tel que l'image de soit maximale (on donnera par sa matrice dans la base canonique ) :

On a donc avec =

Vous avez choisi de matrice et dit que l'image de par est ZZ. Donnez un élément de tel que soit dans et tel que dans la base ( , ) :

Vous avez choisi . Calculez une base du noyau de Calculez l'intersection du noyau de avec ; exprimez un générateur de en fonction de et dans le système générateur de = + Vous avez trouvé que est un générateur de . Finalement donnez les diviseurs élémentaires de (dans l'ordre décroissant) :

QCM : Ordre

Soit et deux groupes et to un homomorphisme de groupes . Soit un élément de .

Sans renseignement supplémentaire, que pouvez-vous affirmer (donner la réponse la plus précise) :

Si est d'ordre dans , l'ordre de dans est .


Nombre d'éléments d'ordre donné

Combien le groupe

a-t-il d'éléments d'ordre ?


Ordre d'un élément

Dans

quel est l'ordre de la classe de ?


Thérorème de structure I

Soit le groupe

On peut l'écrire comme produit de groupes cycliques d'ordre une puissance d'un nombre premier (décomposition primaire). Donner la liste de leurs ordres (sans répétition)

.

Le théorème de structure dit qu'il est isomorphe à un unique groupe

avec . Donner la liste des entiers .

Ecrire les ordres sous la forme 2^5, 3^4, .... .

Théorème de structure II

Soit , et trois nombres premiers distincts. Soit le groupe

On peut l'écrire comme produit de groupes cycliques d'ordre une puissance d'un nombre premier (décomposition primaire). Donner la liste de leurs ordres

.

Le théorème de structure dit qu'il est isomorphe à un unique groupe

avec . Donner la liste des entiers .

Pour écrire , écrire p^3. Mettre * pour le produit ou laisser un espace.

Structure d'un quotient

Soit le groupe

et le sous-groupe engendré par l'image de (). On désire calculer la structure du groupe quotient . Pour cela, on considère l'homomorphisme naturel . Donner un système générateur du noyau de l'homomorphisme déduit

On écrira les vecteurs de en colonnes ; sur une ligne, séparer les composantes par une virgule ; aucun calcul n'est nécessaire, on ne demande qu'un système générateur.

Un système générateur du noyau de psi est . (votre réponse était fausse). Calculer une base adaptée à et au groupe abélien engendré par .

, ,

Donner la structure de en donnant la suite des entiers avec .

On pourra s'aider de l'égalité suivante où les matrices carrées à gauche sont de déterminant pm 1


Nombre de classes d'isomorphismes

Combien y a-t-il de classes d'isomorphismes de groupes abéliens d'ordre ?


Groupe abélien avec propriétés

Un groupe abélien a et . Quel est le plus petit ordre possible du groupe ?


Nombre de sous-groupes d'ordre donné I

Combien y a-t-il de sous-groupes d'ordre dans

ZZ/ ZZ times ZZ/ ZZ


Nombre de sous-groupes d'ordre donné II

Combien y a-t-il de sous-groupes d'ordre dans

ZZ/ ZZ times ZZ/ ZZ


Nombre de sous-groupes d'exposant p

Combien y a-t-il de sous-groupes d'exposant dans

ZZ/ ZZ times ZZ/ ZZ


Sous-groupe d'ordre donné

Soit

Il est d'ordre divisible par . Comme est abélien, il possède un sous-groupe d'ordre . Décrire un tel sous-groupe par ses générateurs.

Ecrire des générateurs, un par ligne.


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