OEF Modules sur Z --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 24 exercices sur les Z-modules de type fini.

Carrelages

On désire paver le plan avec des carreaux rectangulaires de manière à ce que chaque coin en bas à gauche soit sur un point du réseau dessiné [ ]
On désire de plus que les deux extrémités des bords soient sur le réseau. Placer avec la souris le premier pavé dont le coin en bas à gauche est le point rouge :

Donner la dimension des carreaux (horizontale, verticale)

times


Carrelages et matrices d'Hermite

Voici un réseau dessiné :

La matrice d'Hermite (échelonnée en colonnes, triangulaire ) qui lui est associée est

Donner la matrice d'Hermite (échelonnée en colonnes, triangulaire ) qui lui est associée :


Carrelages : taille

Donner la taille des carreaux rectangulaires permettant de le plan parallèlement aux axes de manière à ce que le groupe de translations du pavage soit engendré par les deux vecteurs et times

times


Bases commensurables

Soit le réseau standard et soit le sous-ZZ-module engendré par les vecteurs

et .

Donner une base de qui soit commensurable avec une base de , ce qui signifie que pour certains entiers et positifs, est une base de


Sous-groupes de (Z/NZ)^*

Soit .
Calculer le plus grand entier tel que contienne un sous-groupe isomorphe à

Diviseurs élémentaires et base associée

Le vecteur Les vecteurs colonnes de la matrice

est le générateur sont les générateurs d'un sous-ZZ-module de .

Le diviseur élémentaire Les diviseurs élémentaires de , considéré comme sous-module de , est sont, du plus grand au plus petit,

.

Donner une base de associée à


S'il y a plusieurs diviseurs élémentaires, les séparer par des virgules.
Entrer la base associée en forme d'une matrice où les vecteurs colonnes forment la base associée. Donner d'abord les vecteurs associés aux diviseurs élémentaires dans le même ordre que ceux-là, puis le reste de la base.


Diviseurs élémentaires

Le vecteur Les vecteurs colonnes de la matrice

est le générateur sont les générateurs d'un sous-ZZ-module de .

Le diviseur élémentaire Les diviseurs élémentaires de , considéré comme sous-module de , est sont, du plus grand au plus petit,

.


Base d'un réseau

Le dessin ci-dessous montre un réseau dans , ainsi qu'en couleur rouge un vecteur du réseau qui fait partie d'une base.
Avec lequel des vecteurs en vert le vecteur rouge forme-t-il une base du réseau ? Cliquez sur le point convenable.


Groupes abéliens

Ecrire le groupe abélien

. . . .

sous la forme

,

où divise pour tout .

Groupe d'unités de Z/nZ

Donner les invariants du groupe dans l'ordre décroissant.
Séparez les invariants par des virgules.

Image d'un Z-module

Trouver deux vecteurs formant une base du ZZ-module engendré par les trois vecteurs :
, , .

,


Base d'un sous-Z-module

Trouver une base du ZZ-module engendré par les vecteurs :
j =
Ecrire la réponse sous forme d'une matrice dont les colonnes seront les vecteurs de la base que vous avez trouvée :

Vous pouvez utiliser un logiciel de calcul (sur ce serveur Pari/GP par exemple).

Image d'un Z-module (avec aide)

Trouver deux vecteurs formant une base du ZZ-module engendré par les trois vecteurs :
, , .
sachant que ,


Interprétation de la forme de Smith

On veut interpréter l'égalité suivante des matrices

=

sachant que et sont de déterminant pm 1. On a d'autre part

et .


Soit le sous-ZZ-module de engendré par les vecteurs , ..., représentés par les colonnes de la matrice dans la base canonique , ..., .

Etape 1 : Les vecteurs colonnes de forment

Etape 2 : Ecrire les vecteurs du nouveau système générateur , ..., de obtenu par cette écriture comme combinaison linéaire des vecteurs , ..., (on les écrira dans l'ordre dans lequel ils interviennent naturellement) :
w_r = + v_s
Ecrire ensuite les vecteurs , ..., dans la base , ..., w_r = + e_s Donner l'expression de la nouvelle base , ..., de naturellement obtenue par cette écriture dans la base , ..., f_r = + e_s Un multiple de chacun des vecteurs , ..., appartient au ZZ-module . Donner le plus petit multiple (positif) et l'exprimer dans le système générateur des , ..., f_r = + v_s

Consigne : Il n'y a quasiment aucun calcul à faire. Plusieurs réponses sont peut-être possibles, mais la seule acceptée est celle venant directement de l'égalité de matrices données.


Groupes abéliens isomorphes ?

Les deux groupes abéliens suivants sont-ils isomorphes ?

ZZ/ZZ oplus ZZ/ZZ

et

ZZ/ZZ oplus ZZ/ZZ


Maçonnerie I

([ ] en dimension 2) Donner les 6 tailles de briques possibles (avec répétition éventuellement)

, , , , ,

sous la forme 1,2,3

Matrices élémentaires

Si l'on multiplie à une matrice par la matrice , Si l'on multiplie à une matrice par la matrice , . Plus précisément, .

Multiplication/puissance dans Z/nZ


Z-modules et formes normales


Quotient de deux Z-modules

Soit le sous-ZZ-module de engendré par le vecteur les vecteurs colonnes de la matrice

.

Calculer la décomposition du module quotient en somme directe d'une partie libre et de sous-modules de torsion ZZ/ ZZ, où est divisible par .

= ZZ oplus ZZ/ ZZ


Z-modules dans Q^*

Soit l'homomorphisme de groupes de dans défini par

L'image de est contenue dans le sous-ZZ-module engendré par .

Calculer la matrice de dans la base canonique de et dans la base .

La matrice de dans la base canonique de et dans la base est et on a l'égalité

times times =

Quel est le rang du ZZ-module image de ?

Quel est le rang du noyau de ?

Donner la base de vecteurs du noyau qui vous est suggérée :

Quel est l'indice de dans


Relations dans un groupe abélien

Soit le groupe abélien ayant générateurs dont un système complet de relations est
Donner les invariants du groupe (il doit y en avoir , d'abord les 0 éventuels, puis les invariants en décroissant y compris les 1 si nécessaire).

Le groupe est-il fini ?
Les invariants de sont et est fini. n'est pas fini.
  • Donner l'exposant de
  • Donner l'ordre de
  • est-il cyclique ?
  • Donner le rang de
  • Donner l'ordre du sous-groupe de torsion maximal de

Relation entière entre des vecteurs

Trouver une combinaison linéaire à coefficients entiers

= 0

entre les trois vecteurs :
, , .
On demande une relation génératrice de toutes les combinaisons linéaires entières :

, ,


Surjectivité

L'application linéaire de ZZ-modules dont la matrice dans les bases canoniques est

est-elle surjective ?


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