Calcul approché d'intégrales --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 4 exercices sur le calcul approché d'intégrales.

Noyau de Peano

On considère la formule de quadrature suivante:

.

  1. Donner la valeur de puis les valeurs possibles pour et < 0 et

    ou bien

    > 0 et

    de sorte que (*) soit exacte pour les éléments de la base cononique de .
  2. Donner l'ordre maximal de la méthode .
  3. Donner l'expression du noyau de Peano en remplissant les cases suivantes:

    .

  4. Donner une majoration de l'erreur en fonction de la dérivée d'ordre de .

    .


Méthode du point milieu

On désire calculer une valeur approchée de l'intégrale

par la méthode du point milieu à près. Pour cela, on prend un nombre de subdivisions uniformes de l'intervalle égal à .

  1. Calculer la valeur du pas .
  2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale .
  3. Le nombre de subdivisions assure-t-il la précision voulue? .
La valeur du pas est et la valeur exacte de l'intégrale est . et en effet, le nombre de subdivisions n'assure pas la précision voulue.

Donner le nombre minimal de subdivisions qui assure cette précision.

Calculer la valeur de correspondant à ce nombre de subdivisions.


Méthode des rectangles

Le but de l'exercice est de calculer une valeur approchée de l'intégrale

par la méthode des rectangles à gauche à près. Pour cela, on prend subdivisions uniformes de l'intervalle .

  1. Calculer la valeur du pas .
  2. Donner la valeur exacte de l'intégrale .
  3. Le nombre de subdivisions permet-il de calculer une valeur approchée avec la précision demandée ? .
La valeur du pas est et la valeur exacte de l'intégrale est et en effet, le nombre de subdivisions n'assure pas la précision voulue.

Donner le nombre minimal de subdivisions qui assure cette précision :

Calculer la valeur de pour ce nombre de subdivisions par la méthode des rectangles à gauche


Ordre

On considère la formule de quadrature suivante:

.
Quelles relations doivent vérifier pour que cette formule soit exacte pour:
Les fonctions constantes
Les fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à un
Les fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à deux

On rentrera les variables , sous la forme x1, x2. On écrira les conditions relatives à la base canonique de l'espace des polynômes.


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