Optimisation 2 ou 3 D; contraintes egalites, inegalites --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 13 exercices sur l'optimisation en presence de contraintes d'egalites ou d'inegalites.

Extr. f. quad. 2D, cv_cca

Quel est l'extremum de la fonction

avec la contrainte être sur la droite d'équation

vfmin, , , , , xrange -, + yrange -, + parallel -,0,+,0,0,1,40,grey parallel -,0,+,0,0,-1,40,grey parallel 0,-,0,+,1,0,40,grey parallel 0,-,0,+,-1,0,40,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black levelcurve darkred, , levelcurve green,

Commencer par répondre aux questions suivantes:

Calculer le determinant de la matrice de la forme quadratique:

delta=

La fonction est convexe ou concave (répondre avec les mots ou ) :

On interprète ce problème comme un problème d'extrema liés.

Il s'agit donc trouver l'extremum de la fonction de deux variables définie par

soumise à la contrainte

=0

Avec et , on a

grad ( , )

grad ( , )

Ces deux vecteurs sont liés au point si leur déterminant

est égal à . Rappelons que grad et grad sont liés si

Donner la valeur du point critique pour laquelle est extremale sur la courbe .

A=( , )

L' extremum de la fonction avec la contrainte est donc égale à

Le point obtenu correspond à un (répondre ou ):

L'exercice a plusieurs étapes


Max. ft. util. (ax^a +y^b)^g, cnt. aff.

Quelle est le maximum de la fonction (d'utilité en microéconomie)

avec comme contrainte (de budget en micoéconomie), être sur la droite d'équation:


la solution calculée est mauvaise: renouveler l'exercice

info=,solut= , h, [],
vfmax, , SOL= , xc= , yc= , c=
lambd= , maxf= , minf= , nstep= ,
hessf_reduimax= rep3= , hessred=, sol1= ; sol2= ; , ,
, , ,
, ,, , , ,
, ,
, , lambda=
xrange -/2.1, + yrange -/2.1, + parallel -/2.1,0,+,0,0,1,40,grey parallel -/2.1,0,+,0,0,-1,40,grey parallel 0,-/2.1,0,+,1,0,40,grey parallel 0,-/2.1,0,+,-1,0,40,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black levelcurve darkred, , levelcurve green,

Ci dessus: courbes de niveau de ; la contrainte est en vert; l'extrémum est atteint au point bleu.
Commencer par répondre aux questions suivantes:

L'exercice a plusieurs étapes


La fonction de deux variables

est définie pour x supérieur à et
y supérieur à
differentiabledans ce domaine? (oui/non)

reponse=

Donner la valeur du point critique pour laquelle est extrémale sur la droite .

A=( , )

L'extrémum de la fonction avec la contrainte est donc égale à

En ce point critique, que vaut le Hessien réduit du Lagrangien?

Ce point critique corespond-il a un maximum local? (oui/non)

reponse=


Max. fonct. util. hyp. 2D, cont. aff.

Quelle est le maximum de la fonction (d'utilité en microéconomie)

avec comme contrainte (de budget en micoéconomie), être sur la droite d'équation:

vfmax, , sol, , hessf_reduimax, rep3, , , , , , , ,, , , , xrange -, + yrange -, + parallel -,0,+,0,0,1,40,grey parallel -,0,+,0,0,-1,40,grey parallel 0,-,0,+,1,0,40,grey parallel 0,-,0,+,-1,0,40,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black levelcurve darkred, , levelcurve green,

Ci dessus: courbes de niveau de ; la contrainte est en vert; le maximum est atteint au point bleu.
Commencer par répondre aux questions suivantes:

Il s'agit donc trouver le maximum de la fonction de deux variables définie par

est-elle concave? (oui/non)

reponse=

differentiable? (oui/non)

reponse=

Avec et , on a

grad ( , )

grad ( , )

Ces deux vecteurs sont liés au point si leur déterminant

est égal à . Rappelons que grad et grad sont liés si

Donner la valeur du point critique pour laquelle est extémale sur la droite .

A=( , )

L'extémum de la fonction avec la contrainte est donc égale à

En ce point critique, que vaut le Hessien réduit?

A=( )

Ce point critique corespond-il a un maximum local? (oui/non)

reponse=

L'exercice a plusieurs étapes


Min quad DP eg

On considère la fonctionnelle: à minimiser
avec la contrainte , et les données: A=[];
F=[];
B=[];
C=[];
  1. Calculez et donnez le rang de la matrice ;
  2. Ecrire la CNO et expliquer par écrit pourquoi vous pouvez tirer en fonction de dans la CNO et le reporter dans la contrainte pour calculer puis en déduire (vous pouvez calculer le déterminant de ). Vous commenterez le résultat numérique trouvé de la dernière question (norme de CNO)

  3. Vous calculerez avec une bonne precision numérique ce minimum, donnez la norme euclidienne de
  4. Donnez la norme euclidienne de la CNO et la norme euclidienne de la contrainte

Debogue
([])
[], [], []

Min. ft. quad. conv. 2D, ineg. l.

Quelle est le minimum de la fonction

avec la contrainte:

inéquation

, apasse=[],
A_x=, A_y=, ,
xrange -, + yrange -, + parallel -,0,+,0,0,1,40,grey parallel -,0,+,0,0,-1,40,grey parallel 0,-,0,+,1,0,40,grey parallel 0,-,0,+,-1,0,40,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black levelcurve darkred, , levelcurve green,

Ci dessus: courbes de niveau de ; la contrainte en vert; le minimum est atteint au point bleu.
Commencer par répondre aux questions suivantes:

Il s'agit donc trouver le minimum de la fonction de deux variables définie par

est-elle convexe (Hessien défini positif)? (oui/non)

reponse=

differentiable? (oui/non)

reponse=

Avec et , on a

( , )

( , )

Donner la valeur du point critique pour laquelle est minimum avec la contrainte .

A=( , )

et le multiplicateur de Lagrange:
La minimum de la fonction avec la contrainte est donc égale à

L'exercice a plusieurs étapes


Min. ft. lin. /cont. x^a y^b ,

Minimiser la fonction (cout en microéconomie)

et satisfaire la contrainte (de fonction de production en micoéconomie), :

  avec:

(précision relative 1/1000) debug: , h, [],
vfmax, , SOL= , xc= , yc= , c=
lambd= , maxf= , minf= , nstep= , lam=,
hessf_reduimax= rep3= , hessred=, sol1= ; sol2= ; , ,
, , ,
, ,, , , ,
, ,
, , , , ,
xrange -/1.1, + yrange -/1.1, + parallel -/1.1,0,+,0,0,1,40,grey parallel -/1.1,0,+,0,0,-1,40,grey parallel 0,-/1.1,0,+,1,0,40,grey parallel 0,-/1.1,0,+,-1,0,40,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black levelcurve darkred, , levelcurve green,

Ci dessus: courbes de niveau de ; la contrainte est en vert; l'extrémum est atteint au point bleu.
Commencer par répondre aux questions suivantes:

L'exercice a plusieurs étapes


La fonction de deux variables

est définie pour x supérieur à et
y supérieur à
differentiabledans ce domaine? (oui/non)

reponse=

Donner la valeur du point critique pour laquelle est extrémale
avec la contrainte avec .

A=( , )

L'extrémum de la fonction avec la contrainte est donc égale à

En ce point critique, que vaut le Hessien réduit du Lagrangien?

Ce point critique corespond-il a un minimum local? (oui/non)

reponse=

Que vaut le multiplicateur de Lagrange en cet extrémum?
Le cout marginal (interprétation microéconomique) Justifiez sur papier votre calcul

Min. fonct. quad. c. 2D, cont. aff., 4

Quelle est le minimum de la fonction

avec la contrainte:

la droite d'équation

xrange -, + yrange -, + parallel -,0,+,0,0,1,40,grey parallel -,0,+,0,0,-1,40,grey parallel 0,-,0,+,1,0,40,grey parallel 0,-,0,+,-1,0,40,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black levelcurve darkred, , levelcurve green,

Ci dessus: courbes de niveau de ; la contrainte en vert; le minimum est atteint au point bleu.
Commencer par répondre aux questions suivantes:

Il s'agit donc trouver le minimum de la fonction de deux variables définie par

deux fois differentiable? (oui/non)

reponse=

Calculer le déterminant de son Hessien:

est-elle convexe? (oui/non)

reponse=

Avec et , on a

grad ( , )

grad ( , )

Ces deux vecteurs sont liés au point si leur déterminant

est égal à . Rappelons que grad et grad sont liés si

Donner la valeur du point critique pour laquelle est minimum sur la droite .

A=( , )

La minimum de la fonction avec la contrainte est donc égale à

L'exercice a plusieurs étapes


Min. ft. quad. conv. 2D, cont. aff.

Quelle est le minimum de la fonction

avec la contrainte:

la droite d'équation

xrange -, + yrange -, + parallel -,0,+,0,0,1,40,grey parallel -,0,+,0,0,-1,40,grey parallel 0,-,0,+,1,0,40,grey parallel 0,-,0,+,-1,0,40,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black levelcurve darkred, , levelcurve green,

Ci dessus: courbes de niveau de ; la contrainte en vert; le minimum est atteint au point bleu.
Commencer par répondre aux questions suivantes:

Il s'agit donc trouver le minimum de la fonction de deux variables définie par

est-elle convexe? (oui/non)

reponse=

differentiable? (oui/non)

reponse=

Avec et , on a

grad ( , )

grad ( , )

Ces deux vecteurs sont liés au point si leur déterminant

est égal à . Rappelons que grad et grad sont liés si

Donner la valeur du point critique pour laquelle est minimum sur la droite .

A=( , )

La minimum de la fonction avec la contrainte est donc égale à

L'exercice a plusieurs étapes


Min quad ndp eg

On considère la fonctionnelle: à minimiser
avec la contrainte , et les données: A=[];
F=[];
B=[];
C=[];
  1. Calculez et donnez le rang de la matrice ;
  2. Ecrire la CNO et expliquer par écrit pourquoi il serait très imprécis de tirer en fonction de dans la CNO et de le reporter dans la contrainte pour calculer puis en déduire (vous pouvez calculer le déterminant de ). Vous commenterez le résultat numérique trouvé de la dernière question (norme de CNO)

  3. Vous calculerez avec une bonne precision numérique ce minimum, en paramétrant la contrainte et en reportant dans la CNO; donnez la norme euclidienne de
  4. Donnez la norme euclidienne de la CNO et la norme euclidienne de la contrainte

Debogue
([])
[], [], []

Min quad ndp eg 9D

On considère la fonctionnelle: à minimiser
avec la contrainte , et les données: A=[];
F=[];
B=[];
C=[];
  1. Calculez et donnez le rang de la matrice ;
  2. Ecrire la CNO et expliquer par écrit pourquoi il serait très imprécis de tirer en fonction de dans la CNO et de le reporter dans la contrainte pour calculer puis en déduire (vous pouvez calculer le déterminant de ). Vous commenterez le résultat numérique trouvé de la dernière question (norme de CNO)

  3. Vous calculerez avec une bonne precision numérique ce minimum, en paramétrant la contrainte et en reportant dans la CNO; donnez la norme euclidienne de
  4. Donnez la norme euclidienne de la CNO et la norme euclidienne de la contrainte

Debogue

[], [], []

Min. quad. conv. 2D, ineg. algo.

  1. Soit la fonction à minimiser

      avec les contraintes:



    et le point de départ:  

  2. Dessinez sur papier les contraintes (hachurez la partie admissible), le point de départ et le minimum trouvé graphiquement; en ce minimum, vérifiez graphiquement le signe des multiplicateurs de Lagrange.
  3. Décrivez sur papier les étapes de l'algorithme de minimisations sucessive de fonction quadratique avec contraintes d'égalités pour trouver minimum de la fonction avec les contraintes ;
    fournissez en particulier: pour chaque itération, les contraintes saturées, le problème de minimisation avec contraites d'égalités; les itérés .
Debogue: , apasse=[],
A_x=, A_y=, ,

xrange -, + yrange -, + parallel -,0,+,0,0,1,40,grey parallel -,0,+,0,0,-1,40,grey parallel 0,-,0,+,1,0,40,grey parallel 0,-,0,+,-1,0,40,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black levelcurve darkred, , levelcurve green, levelcurve blue,

Ci dessus: courbes de niveau de ; la frontiére des contrainte en vert et bleu; le point de départ est le point bleu.

Min quad ndp eg_sensi

On considère la fonctionnelle: à minimiser
avec la contrainte , et les données: A=[];
F=[];
B=[];
C=[];
  1. Vous calculerez avec une bonne precision numérique ce minimum, en paramétrant la contrainte et en reportant dans la CNO; donnez la norme euclidienne de
    1. Ecrire et expliquer pourquoi la matrice calculée avec la méthode utilisée pour paramétrer la contrainte constitue une base de l'espace tangent aux contraintes;
    2. puis expliquez pourquoi un Hessien réduit du Lagrangien est: .
    3. Vous calculerez un Hessien reduit ;
    4. fournissez ensuite la plus petite valeur propres;
    5. expliquer ensuite pourquoi la CNO suffisante du 2eme ordre est satisfaite.
  2. On perturbe la contrainte avec ;
    1. Calculez et fournissez une approximation de la variation
    2. Vous écrirez comment vous calculez cette variation.

Debogue
[]
[], [], []

Paramétrage se_aff

On considère le sous espace affine défini implicitement par:
, avec:
B=[];
C=[];
  1. Vous calculerez (avec une bonne précision numùrique) deux matrices et qui vérifient: , et , et vous fournirez la norme d'indice 1 de et (la plus grande somme des colonnes des valeurs absolues de la matrice considérée)
  2. Vous expliquerez sur papier comment ces matrices permettent de paramétrer le sous espace affine considéré; vous préciserez votre choix de la méthode numérique utilisée pour construire ces matrices.
    Debogue
    []


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