Intégration numérique

Intégration numérique


Ce document présente quelques méthodes classiques de calcul numérique d'intégrales. Il est destiné à des étudiants de licence.

I Introduction

II Formules de quadrature et leur ordre

III Mise en oeuvre sur Matlab

IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature

V Exemples de calcul numérique de l'ordre

VI Bibliographie

VII Exercices


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I Introduction

Intégration numérique → I Introduction

I-1 Problème étudié

Intégration numériqueI Introduction → I-1 Problème étudié
Soit une fonction f:[a,b] intégrable. Nous nous intéressons au calcul de son intégrale sur [a,b]:
I(f)= a bf(x)dx.
Dans ce chapitre on présente la théorie des quelques méthodes classiques de calcul numérique de I(f). Ces méthodes sont appelées méthodes de quadrature . Pour chaque méthode, on s'intéresse à son ordre, à l'étude de sa convergence et à l'étude de son erreur de convergence. On développe aussi quelques idées nécessaires à l'écriture d'un programme numérique pour le calcul de I(f).

I-2 Notations et définitions

Intégration numériqueI Introduction → I-2 Notations et définitions
Soit f:[a,b] bornée et soit
σ={a=x 0<x 1<<x n=b}
une subdivision de [a,b] de pas
σ=sup 0inx i+1x i
On pose:
m i=inf x]x i,x i+1[f(x),M i=sup x]x i,x i+1[f(x)
s σ(f)= i=0 n1(x i+1x i)m i,S σ(f)= i=0 n1(x i+1x i)M i
I +(f)=inf σS σ(f),I (f)=sup σs σ(f)

Définition [Intégrale de Riemann]

La fonction f est dite Riemann intégrable si I +(f)=I (f). Dans ce cas, on note I(f)= a bf(x)dx le réel I +(f)=I (f) et on l'appelle l'intégrale de Riemann associée à f.

Remarque

  1. Toute fonction continue par morceaux est Riemann intégrable.
  2. Toute fonction monotone est Riemann intégrable.

I-3 Résultats fondamentaux

Intégration numériqueI Introduction → I-3 Résultats fondamentaux

Proposition

Si f:[a,b] est Riemann intégrable, alors
a bf(x)dx=lim σ0S σ(f)=lim σ0s σ(f)
ou d'une manière équivalente
ε>0,η>0 tq σ,σ<ηI(f)S σ(f) ε I(f)s σ(f) ε

Remarque

Si f:[a,b] est continue alors
inf x]x i,x i+1[f(x)=inf x[x i,x i+1]f(x) et sup x]x i,x i+1[f(x)=sup x[x i,x i+1]f(x)

Théorème

Si f:[a,b] est continue alors
a bf(x)dx=lim n+ban i=0 n1m i=lim n+ban i=0 n1M i
et d'une façon plus générale
a bf(x)dx=lim n+ban i=0 n1f(c i) avec c i[x i,x i+1]

II Formules de quadrature et leur ordre

Intégration numérique → II Formules de quadrature et leur ordre

II-1 Idée de base

La plupart des algorithmes numériques procèdent comme suit : on subdivise l'intervalle [a,b] en plusieurs sous-intervalles σ={a=x 0<x 1<<x n=b} et on utilise le fait que
a bf(x)dx= i=0 n1 x i x i+1f(x)dx
De cette manière, on est amené au calcul de plusieurs intégrales pour lesquelles la longueur de l'intervalle d'intégration est relativement petite. Prenons une de ces intégrales, notons h i=x i+1x i la longueur de l'intervalle et g(t)=f(x i+th i). Un changement de variable nous donne alors:
x i x i+1f(x)dx=h i 0 1g(t)dt

Il reste alors à calculer une approximation de
0 1g(t)dt

II-2 Méthode des rectangles à gauche

Intégration numériqueII Formules de quadrature et leur ordre → II-2 Méthode des rectangles à gauche
0 1g(t)dtg(0)

L'aire du domaine limité par les droites x=0,x=1, l'axe Ox et C g est approchée par l'aire du rectangle de base [