Intégration numérique

Intégration numérique

I Introduction picto

II Formules de quadrature et leur ordre picto

III Mise en oeuvre sur Matlab picto

IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature picto

V Exemples de calcul numérique de l'ordre picto

VI Bibliographie

VII Exercices

Index

Ce document présente quelques méthodes classiques de calcul numérique d'intégrales. Il est destiné à des étudiants de licence.

I Introduction

II Formules de quadrature et leur ordre

III Mise en oeuvre sur Matlab

IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature

V Exemples de calcul numérique de l'ordre

VI Bibliographie

VII Exercices

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I Introduction

Intégration numérique  ---> I Introduction

II Formules de quadrature et leur ordre picto

III Mise en oeuvre sur Matlab picto

IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature picto

V Exemples de calcul numérique de l'ordre picto

VI Bibliographie

VII Exercices

Index

Intégration numérique  ---> I Introduction

I-1 Problème étudié

Intégration numérique  ---> I Introduction  ---> I-1 Problème étudié

II Formules de quadrature et leur ordre picto

III Mise en oeuvre sur Matlab picto

IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature picto

V Exemples de calcul numérique de l'ordre picto

VI Bibliographie

VII Exercices

Index

Soit une fonction f:[a,b] intégrable. Nous nous intéressons au calcul de son intégrale sur [a,b]:
I(f)= a bf(x)dx.
Dans ce chapitre on présente la théorie des quelques méthodes classiques de calcul numérique de I(f). Ces méthodes sont appelées méthodes de quadrature . Pour chaque méthode, on s'intéresse à son ordre, à l'étude de sa convergence et à l'étude de son erreur de convergence. On développe aussi quelques idées nécessaires à l'écriture d'un programme numérique pour le calcul de I(f).
Intégration numérique  ---> I Introduction  ---> I-1 Problème étudié

I-2 Notations et définitions

I-3 Résultats fondamentaux

I-2 Notations et définitions

Intégration numérique  ---> I Introduction  ---> I-2 Notations et définitions

II Formules de quadrature et leur ordre picto

III Mise en oeuvre sur Matlab picto

IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature picto

V Exemples de calcul numérique de l'ordre picto

VI Bibliographie

VII Exercices

Index

Soit f:[a,b] bornée et soit
σ={a=x 0<x 1<<x n=b}
une subdivision de [a,b] de pas
σ=sup 0inx i+1x i
On pose:

m i=inf x]x i,x i+1[f(x),M i=sup x]x i,x i+1[f(x)
s σ(f)= i=0 n1(x i+1x i)m i,S σ(f)= i=0 n1(x i+1x i)M i
I +(f)=inf σS σ(f),I (f)=sup σs σ(f)

Définition [Intégrale de Riemann]

La fonction f est dite Riemann intégrable si I +(f)=I (f). Dans ce cas, on note I(f)= a bf(x)dx le réel I +(f)=I (f) et on l'appelle l'intégrale de Riemann associée à f.

Remarque

  1. Toute fonction continue par morceaux est Riemann intégrable.
  2. Toute fonction monotone est Riemann intégrable.

Intégration numérique  ---> I Introduction  ---> I-2 Notations et définitions
I-1 Problème étudié

I-3 Résultats fondamentaux

I-3 Résultats fondamentaux

Intégration numérique  ---> I Introduction  ---> I-3 Résultats fondamentaux

II Formules de quadrature et leur ordre picto

III Mise en oeuvre sur Matlab picto

IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature picto

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VII Exercices

Index

Proposition

Si f:[a,b] est Riemann intégrable, alors
a bf(x)dx=lim σ0S σ(f)=lim σ0s σ(f)
ou d'une manière équivalente
ε>0,η>0 tq σ,σ<ηI(f)S σ(f) ε I(f)s σ(f) ε

Remarque

Si f:[a,b] est continue alors
inf x]x i,x i+1[f(x)=inf x[x i,x i+1]f(x) et sup x]x i,x i+1[f(x)=sup x[x i,x i+1]f(x)

Théorème

Si f:[a,b] est continue alors
a bf(x)dx=lim n+ban i=0 n1m i=lim n+ban i=0 n1M i
et d'une façon plus générale
a bf(x)dx=lim n+ban i=0 n1f(c i) avec c i[x i,x i+1]
Intégration numérique  ---> I Introduction  ---> I-3 Résultats fondamentaux
I-1 Problème étudié

I-2 Notations et définitions

II Formules de quadrature et leur ordre

Intégration numérique  ---> II Formules de quadrature et leur ordre
I Introduction picto

III Mise en oeuvre sur Matlab picto

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VII Exercices

Index

Intégration numérique  ---> II Formules de quadrature et leur ordre

II-1 Idée de base

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VII Exercices

Index

La plupart des algorithmes numériques procèdent comme suit : on subdivise l'intervalle [a,b] en plusieurs sous-intervalles σ={a=x 0<x 1<<x n=b} et on utilise le fait que
a bf(x)dx= i=0 n1 x i x i+1f(x)dx
De cette manière, on est amené au calcul de plusieurs intégrales pour lesquelles la longueur de l'intervalle d'intégration est relativement petite. Prenons une de ces intégrales, notons h i=x i+1x i la longueur de l'intervalle et g(t)=f(x i+th i). Un changement de variable nous donne alors:
x i x i+1f(x)dx=h i 0 1g(t)dt

Il reste alors à calculer une approximation de

0 1g(t)dt

II-2 Méthode des rectangles à gauche

II-3 Méthode des rectangles à droite

II-4 Méthode du point milieu

II-5 Méthode du trapèze

II-6 Méthode de Simpson

II-7 Méthode de Newton-Cotes

II-8 Ordre picto

II-2 Méthode des rectangles à gauche

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III Mise en oeuvre sur Matlab picto

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Index

0 1g(t)dtg(0)

L'aire du domaine limité par les droites x=0,x=1, l'axe Ox et C g est approchée par l'aire du rectangle de base [0,1]

Exercice

Méthode du rectangle

II-1 Idée de base

II-3 Méthode des rectangles à droite

II-4 Méthode du point milieu

II-5 Méthode du trapèze

II-6 Méthode de Simpson

II-7 Méthode de Newton-Cotes

II-8 Ordre picto

II-3 Méthode des rectangles à droite

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VII Exercices

Index

0 1g(t)dtg(1)

L'aire du domaine limité par les droites x=0,x=1, l'axe Ox et C g est approchée par l'aire du rectangle de base [0,1]
II-1 Idée de base

II-2 Méthode des rectangles à gauche

II-4 Méthode du point milieu

II-5 Méthode du trapèze

II-6 Méthode de Simpson

II-7 Méthode de Newton-Cotes

II-8 Ordre picto

II-4 Méthode du point milieu

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Index

0 1g(t)dtg(1/2)

L'aire du domaine limité par les droites x=0,x=1, l'axe Ox et C g est approchée par l'aire du rectangle de base [0,1]

Exercice

Méthode du point milieu

II-1 Idée de base

II-2 Méthode des rectangles à gauche

II-3 Méthode des rectangles à droite

II-5 Méthode du trapèze

II-6 Méthode de Simpson

II-7 Méthode de Newton-Cotes

II-8 Ordre picto

II-5 Méthode du trapèze

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Index

0 1g(t)dt1/2(g(0)+g(1))

L'aire du domaine limité par les droites x=0,x=1, l'axe Ox et C g est approchée par l'aire du trapèze de base [0,1]

II-1 Idée de base

II-2 Méthode des rectangles à gauche

II-3 Méthode des rectangles à droite

II-4 Méthode du point milieu

II-6 Méthode de Simpson

II-7 Méthode de Newton-Cotes

II-8 Ordre picto

II-6 Méthode de Simpson

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Index

Traçons la parabole passant par les trois points (0,g(0)),(1/2,g(1/2)),(1,g(1)). En approchant l'intégrale par l'aire sous la parabole, on obtient la formule de Simpson :
0 1g(t)dt1/6(g(0)+4g(1/2)+g(1))

L'aire du domaine limité par les droites x=0,x=1, l'axe Ox et C g est approchée par l'aire grisée.

II-1 Idée de base

II-2 Méthode des rectangles à gauche

II-3 Méthode des rectangles à droite

II-4 Méthode du point milieu

II-5 Méthode du trapèze

II-7 Méthode de Newton-Cotes

II-8 Ordre picto

II-7 Méthode de Newton-Cotes

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Index

On peut généraliser la méthode de Simpson en approchant l'intégrale par l'aire sous un polynôme de degré s1 passant par les s points équidistants
((is1,g(is1)),i=0,,s1),
on obtient des formules de quadrature appelées formules de Newton-Cotes données par la définition.

Définition

Une formule de quadrature est dite de Newton-Cotes à s étages si elle est de la forme:
0 1g(t)dt i=1 sb ig(c i).
Les c i sont les noeuds de la formule de quadrature et les b i sont les poids .

II-1 Idée de base

II-2 Méthode des rectangles à gauche

II-3 Méthode des rectangles à droite

II-4 Méthode du point milieu

II-5 Méthode du trapèze

II-6 Méthode de Simpson

II-8 Ordre picto

II-8 Ordre

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Index

II-1 Idée de base

II-2 Méthode des rectangles à gauche

II-3 Méthode des rectangles à droite

II-4 Méthode du point milieu

II-5 Méthode du trapèze

II-6 Méthode de Simpson

II-7 Méthode de Newton-Cotes

II-8-1 Définition

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Définition

On dit que l'ordre ordre d'une formule de quadrature de la formule de quadrature est p si elle est exacte pour tous les polynômes de degré inférieur ou égal à p1, c'est-à-dire: pour g polynôme de degré p1,
0 1g(t)dt= i=1 sb ig(c i)

On voit que les formules du point milieu et des trapèzes sont d'ordre 2. La formule de Newton-Cotes à s étages a un ordre p supérieur ou égal à s.

Le tableau suivant résume l'ordre ainsi que les poids des différentes méthodes de quadrature pour s7.

Tableau

s  

  ordre    b 1    b 2   b 3    b 4    b 5   b 6   b 7   nom
1    1    1                      rectangle

1  

  2    1                      pt. milieu

2  

  2    12    12                   trapèze

3  

  4    16    46    16                Simpson

4  

  4    18    38    38    18             Newton

5  

  6    790    3290    1290    3290    790          Boole

6  

  6    19288    75288    50288    50288    75288    19288       Boole

7  

  8    41840    216840    27840    272840    27840    216840    41840    Weddle

Exercice

Ordre d'une méthode de quadrature

II-8-2 Condition nécessaire et suffisante

II-8-3 Remarque sur l'ordre

II-8-4 Cas symétrique

II-8-2 Condition nécessaire et suffisante

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Index

Théorème

La formule de quadrature est d'ordre p si et seulement si:
i=1 sb ic i q1=1q, pour q=1,,p

Preuve

La nécessité de l'équivalence ) est une conséquence de la formule ) si l'on pose g(t)=t q1. Pour en montrer la suffisance, on utilise le fait qu'un polynôme de degré p1 est une combinaison linéaire de 1,t,,t p1 et que l'intégrale 0 1g(t)dt ainsi que l'expression i=1 sb ig(c i) sont linéaires en g.
II-8-1 Définition

II-8-3 Remarque sur l'ordre

II-8-4 Cas symétrique

II-8-3 Remarque sur l'ordre

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Index

Remarque

  1. En fixant les noeuds c 1,c 2,,c s (distincts), la condition avec p=s représente un système linéaire pour b 1,b 2,,b s
    (1 1 1 c 1 c 2 c s c 1 s1 c 2 s1 c s s1 )(b 1 b 2 b s )=(1 12 1s )

    Comme la matrice dans la formule est inversible (matrice de Vandermonde), la résolution de ce système nous donne une formule de quadrature d'ordre p=s.

  2. Si l'on vérifie les conditions pour la formule de Simpson, on fait une observation intéressante: par définition, il est évident que la condition est satisfaite pour q=1, 2, 3, mais on remarque qu'elle est aussi satisfaite pour q=4. En effet:
    160 3+46(12) 3+161 3=14 160 4+46(12) 4+161 4=52415.
    Elle est donc d'ordre 4. Par conséquent, elle n'est pas seulement exacte pour les polynômes de degré 2 mais aussi pour les polynômes de degré 3. Ceci est est une propriété qui peut être généralisée aux formules de quadrature symétriques (c'est-à-dire c i=1c s+1i,b i=b s+1i,1is).

    Coefficients et noeuds d'une formule de quadrature symétrique

II-8-1 Définition

II-8-2 Condition nécessaire et suffisante

II-8-4 Cas symétrique

II-8-4 Cas symétrique

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Index

Théorème

Une formule de quadrature symétrique a toujours un ordre pair: si elle est exacte pour les polynômes de degré 2m2, elle est exacte pour les polynômes de degré 2m1.

Preuve

Chaque polynôme g(t) de degré 2m1 peut être écrit sous la forme
g(t)=c(t12) 2m1+h(t)
h(t) est un polynôme de degré 2m2 et où c est une constante. Il suffit alors de montrer que la formule symétrique est exacte pour (t12) 2m1. A cause de la symétrie de cette fonction, la valeur exacte vaut
0 1(t12) 2m1dt=0
Pour une formule de quadrature symétrique on a
b i(c i12) 2m1+b s+1i(c s+1i12) 2m1=0

Donc l'approximation numérique de 0 1(t12) 2m1dt est également nulle.

II-8-1 Définition

II-8-2 Condition nécessaire et suffisante

II-8-3 Remarque sur l'ordre

III Mise en oeuvre sur Matlab

Intégration numérique  ---> III Mise en oeuvre sur Matlab
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Index

Intégration numérique  ---> III Mise en oeuvre sur Matlab

III-1 Notations

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Index

Ici nous allons exécuter sur Matlab quelques méthodes de quadrature classiques pour approcher la valeur de l'intégrale
I exa= 1 21tdt=log(2)
avec une subdivision de l'intervalle [1,2] correspondante à
α i=1+1Ni;0iN et N=4.

III-2 Méthode des rectangles à gauche

III-3 Méthode des trapèzes

III-4 Méthode de Simpson

III-5 Commentaires des résultats

III-2 Méthode des rectangles à gauche

Intégration numérique  ---> III Mise en oeuvre sur Matlab  ---> III-2 Méthode des rectangles à gauche
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Index

On note I rg l'approximation de I exa par la méthode des rectangles à gauche et E rg l'erreur commise. Voici un programme Matlab qui calcule I rg et E rg:

Code Matlab

 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Iexa = log(2);
alpha = 1;
beta = 2;
N = 4;
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
f = inline('1/x','x');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Irg = 0.0;
for i = 1:N
    Irg = Irg + h*f(x(i));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Irg   
Erg = abs(Iexa - Irg) 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Les résultats obtenus par ce programme sont:

 
Irg = 7.595238095e-01
Erg = 6.637662896e-02
Intégration numérique  ---> III Mise en oeuvre sur Matlab  ---> III-2 Méthode des rectangles à gauche
III-1 Notations

III-3 Méthode des trapèzes

III-4 Méthode de Simpson

III-5 Commentaires des résultats

III-3 Méthode des trapèzes

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VI Bibliographie

VII Exercices

Index

On note I tr l'approximation de I exa par la méthode des trapèzes et E tr l'erreur commise. Voici un programme Matlab qui calcule I tr et E tr:

Code Matlab

 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Iexa = log(2);
alpha = 1;
beta = 2;
N = 4;
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
f = inline('1/x','x');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Itr = 0.0;
for i = 1:N
    Itr = Itr + h*(0.5*f(x(i)) + 0.5*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Itr   
Etr = abs(Iexa - Itr) 

Les résultats obtenus par ce programme sont:

 
Itr = 6.970238095e-01
Etr = 3.876628964e-03
III-1 Notations

III-2 Méthode des rectangles à gauche

III-4 Méthode de Simpson

III-5 Commentaires des résultats

III-4 Méthode de Simpson

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Index

On note I si l'approximation de I exa par la méthode de Simpson et E si l'erreur commise. Voici un programme Matlab qui calcule I si et E si:

Code Matlab

 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Iexa = log(2);
alpha = 1;
beta = 2;
N = 4;
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
f = inline('1/x','x');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Isi = 0.0;
for i = 1:N
Isi = Isi+h*(1/6*f(x(i))+2/3*f((x(i)+x(i+1))/2)+1/6*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Isi   
Es = abs(Iexa - Isi) 

Les résultats obtenus par ce programme sont:

 
Isi = 6.931545307e-01
Esi = 7.350094585e-06
III-1 Notations

III-2 Méthode des rectangles à gauche

III-3 Méthode des trapèzes

III-5 Commentaires des résultats

III-5 Commentaires des résultats

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Index

On voit bien que l'erreur absolue obtenue par la méthode de Simpson est beaucoup plus faible que celles obtenues par les deux autres. Ceci confirme la règle: plus l'ordre de la méthode est grand, plus la précision est bonne .
Intégration numérique  ---> III Mise en oeuvre sur Matlab  ---> III-5 Commentaires des résultats
III-1 Notations

III-2 Méthode des rectangles à gauche

III-3 Méthode des trapèzes

III-4 Méthode de Simpson

IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature

Intégration numérique  ---> IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
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Index

Pour étudier l'erreur commise en approchant une intégrale par l'une des formules de quadrature, nous commençons par une expérience numérique :

IV-1 Expérience numérique

IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur

Intégration numérique  ---> IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature

IV-1 Expérience numérique

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Index

IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur picto

IV-1-1 Nombre d'évaluation

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Index

Prenons une fonction f définie sur [a,b], subdivisons l'intervalle en plusieurs sous-intervalles équidistants ( h=baN) et appliquons l'une des formules de quadrature du paragraphe précédent. Ensuite, étudions l'erreur (en échelle logarithmique),

E(f) = a bf(x)dx j=0 N1 x j x j+1f(x)dx = a bf(x)dx j=0 N1h 0 1f(x j+th)dt = a bf(x)dx j=0 N1h i=1 sb if(x j+c ih),
en fonction du nombre d'évaluations f e de la fonction f pour Newton-Cotes : f e est défini par:
f e=N(s1)+1
Le nombre f e repésente une mesure pour le travail effectué par l'ordinateur.

IV-1-2 Exemple

IV-1-3 Interprétation des résultats

IV-1-4 Justification des résultats

IV-1-2 Exemple

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Index

Voici les résultats obtenus par les formules de Newton-Cotes (trapèzes, Simpson, Boole) pour l'int'grale
I exa=sin(2)= 0 2cos(x)dx
et N=1,2,4,8,16,

Code Matlab

clear all;
Iexa = sin(2);
alpha = 0;
beta = 2;
f = inline('cos(x)','x');
%--------------------------
%--------------------------
% Méthode des trapèzes
%--------------------------
%--------------------------
s = 2;
for j = 1:1:10 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 2^j;
fetr(j) = log10(N*(s-1) +1);
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Itr=0.0;
for i = 1:N
Itr = Itr + h*(1/2*f(x(i)) + 1/2*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Etr(j) = log10(abs(Iexa - Itr)) ;
end
%--------------------------
%--------------------------
% Méthode de Simpson
%--------------------------
%--------------------------
s = 3;
for j=1:1:10 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 2^j;
fesi(j) = log10(N*(s-1) +1);
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Isi = 0.0;
for i = 1:N
Isi = Isi+h*(1/6*f(x(i))+2/3*f((x(i)+x(i+1))/2)+1/6*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Esi(j) = log10(abs(Iexa - Isi)) ;
end
%--------------------------
%--------------------------
% Méthode de Boole (s=6)
%--------------------------
%--------------------------
s = 6;
for j = 1:1:8 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 2^j;
febo(j) = log10(N*(s-1) +1);
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Ibo = 0.0;
for i = 1:N
Ibo = Ibo + h*(19/288*f(x(i)) + 75/288*f(x(i)+h/5) + 
50/288*f(x(i)+(2*h/5)) + 50/288*f(x(i)+ (3*h/5)) + 
75/288*f(x(i)+ (4*h/5)) + 19/288*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Ebo(j) = log10(abs(Iexa - Ibo)) ;
plot(fetr, Etr, 'k-.', fesi, Esi, 'k-+', febo, Ebo, 'k-*')
legend('Trapèzes', 'Simpson', 'Boole (s=6)')
xlabel('log10(Erreur)');
ylabel('log10(fe)');
title('Le travail fe en fonction de l''erreur');
end

La figure ci-dessous montre donne les résultats pour N=1,2,4,8,16.

IV-1-1 Nombre d'évaluation

IV-1-3 Interprétation des résultats

IV-1-4 Justification des résultats

IV-1-3 Interprétation des résultats

I Introduction picto

II Formules de quadrature et leur ordre picto

III Mise en oeuvre sur Matlab picto

V Exemples de calcul numérique de l'ordre picto

VI Bibliographie

VII Exercices

Index

Nous constatons que:
  1. log 10(f e) dépend linéairement du nombre de chiffres exacts, donné par log 10(E(cos)).
  2. La pente de chaque droite est 1pp est l'ordre de la méthode de quadrature.
  3. Pour un travail équivalent (même f e), les formules avec un ordre élevé ont une meilleure précision.
IV-1-1 Nombre d'évaluation

IV-1-2 Exemple

IV-1-4 Justification des résultats

IV-1-4 Justification des résultats

I Introduction picto

II Formules de quadrature et leur ordre picto

III Mise en oeuvre sur Matlab picto

V Exemples de calcul numérique de l'ordre picto

VI Bibliographie

VII Exercices

Index

Etudions d'abord l'erreur faite sur un sous-intervalle de longueur h.
E(f,x 0,h) = x 0 x 0+hf(x)dxh i=1 sb if(x 0+c ih) = h( 0 1f(x 0+th)dt i=1 sb if(x 0+c ih)).

On considère la formule de quadrature d'ordre p. En supposant que f est suffisament différentiable, on peut remplacer f(x 0+th) et f(x 0+c ih) par les séries de Taylor au voisinage de x 0:

E(f,x 0,h) = q0h q+1q!( 0 1t qdt i=1 sb ic i q)f (q)(x 0) = h p+1p!(1p+1 i=1 sb ic i p)f (p)(x 0)+O(h p+2)
La constante définie par
C=1p!(1p+1 i=1 sb ic i p)

s'appelle constante de l'erreur. Si on suppose que h est assez petit pour négliger O(h p+2) devant Ch p+1, on obtient:

E(f) = j=0 N1E(f,x j,h)Ch p j=0 N1hf (p)(x j)Ch p a bf (p)(x)dx = Ch p(f (p1)(b)f (p1)(a))
Cette formule nous permet de mieux comprendre les résultats de la figure précédente. En effet, on peut écrire E(f)C 1h p et feC 2h. Par conséquent,
log 10(E(f))log 10(C 1)plog 10(h)Constante+plog 10(fe).
Ceci montre la dépendance linéaire entre log 10(fe) et log 10(E(f)) et le fait que la pente soit de 1p.
IV-1-1 Nombre d'évaluation

IV-1-2 Exemple

IV-1-3 Interprétation des résultats

IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur

I Introduction picto

II Formules de quadrature et leur ordre picto

III Mise en oeuvre sur Matlab picto

V Exemples de calcul numérique de l'ordre picto

VI Bibliographie

VII Exercices

Index

IV-1 Expérience numérique picto

IV-2-1 Noyau de Peano

I Introduction picto

II Formules de quadrature et leur ordre picto

III Mise en oeuvre sur Matlab picto

V Exemples de calcul numérique de l'ordre picto

VI Bibliographie

VII Exercices

Index

Dans ce paragraphe on s'occupe de l'estimation exacte de l'erreur d'une formule de quadrature en vue de démontrer les théorèmes de convergence et assurer une certaine précision du résultat numérique.

Théorème [et Définition]

Soit une formule de quadrature d'ordre p et un entier k vérifiant kp. Considérons une fonction f:[x 0,x 0+h] de classe C k, alors l'erreur E(f,x 0,h) définie par la formule vérifie:
E(f,x 0,h)=h k+1 0 1N k(s)f (k)(x 0+sh)ds
N k est le noyau de Peano , défini par:
N k(s)=(1s) kk! i=1 sb i(c is) + k1(k1)!r + k1={r k1 si r>0 0 si r0

Preuve

La formule de Taylor avec reste intégral appliquée à f au point x 0 donne:
f(x 0+th)= j=0 k1(th) jj!f (j)(x 0)+h k 0 t(ts) k1(k1)!f (k)(x 0+sh)ds
En combinant cette dernière formule avec la formule et en utilisant le fait que
0 t(ts) k1g(s)ds= 0 1(ts) + k1g(s)ds
et en remarquant que la partie polynomiale dans l'avant-dernière équation ne contribue pas à l'erreur (à cause que pk), nous obtenons:
E(f,x 0,h)=h k+1 0 1( 0 1(ts) + k1(k1)!dt i=1 sb i(c is) + k1(k1)!)f (k)(x 0+sh)ds.
Une évaluation de l'intégrale intérieure donne le résultat.

Remarque

Pour une formule de quadrature d'ordre p et un entier k vérifiant 1kp on a:
0 1N p(s)ds=1p!(1p+1 i=1 sb ic i p)=C
C est la constante de l'erreur définie par la formule .

Exemple

Les noyaux de Peano pour la méthode du point milieu sont donnés par:

N 1(s)={s si s<12 1s si s12N 2(s)={s 22 si s12 (1s) 22 si s12

IV-2-2 Majoration de l'erreur

IV-2-2 Majoration de l'erreur

I Introduction picto

II Formules de quadrature et leur ordre picto

III Mise en oeuvre sur Matlab picto

V Exemples de calcul numérique de l'ordre picto

VI Bibliographie

VII Exercices

Index

Nous sommes maintenant en mesure d'estimer l'erreur commise pour l'intervalle [a,b] tout entier et ceci pour une subdivision arbitraire h j=x j+1x j. Rappelons que, comme dans la formule , l'erreur est donnée par:

E(f)= a bf(x)dx j=0 N1h j i=1 sb if(x j+c ih j).
On a alors le théorème suivant:

Théorème

Soit une formule de quadrature d'ordre p et un entier k vérifiant kp. Considérons une fonction f:[a,b] de classe C k. Alors l'erreur E(f) définie par la formule vérifie l'estimation suivante:
E(f)h k(ba) 0 1N k(s)dsmax x[a,b]f (k)(x)

h=max j(h j).

Preuve

La formule donne:

E(f,x 0,h) h k+1 0 1N k(s)f (k)(x 0+sh)ds h k+1 0 1N k(s)dsmax x[x 0,x 0+h]f (k)(x).
Comme l'erreur est la somme des erreurs sur les sous-intervalles de la subdivision, nous obtenons:
E(f) j=0 N1E(f,x j,h j) j=0 N1h j k+1 0 1N k(s)dsmax x[x j,x j+1]f (k)(x) j=0 N1h kh j 0 1N k(s)dsmax x[a,b]f (k)(x)
et puisque j=0 N1h j=ba, on obtient l'équation .

Exemple

Pour la formule du point milieu, on a:
E(f)h 2(ba)124max x[a,b]f (x).
Pour la formule des trapèzes:
E(f)h 2(ba)112max x[a,b]f (x).
Pour la formule de Simpson:
E(f)h 4(ba)12880max x[a,b]f (4)(x).
Pour la formule de Newton-Cotes ( s=5):
E(f)h 6(ba)11935360max x[a,b]f (6)(x).

Remarque

Le calcul de 0 1N p(s)ds pour ces formules n'est pas difficile. Considérons par exemple la formule de Newton-Cotes avec s=5. Nous constatons que N 6(s) ne change pas de signe sur [0,1] et en utilisant la remarque , nous obtenons:
0 1N 6(s)ds = 0 1N 6(s)ds = 16!17(3290(14) 6+1290(12) 6+3290(34) 6+7901 6) = 11935360.

Exercice

Noyau de Peano

IV-2-1 Noyau de Peano

V Exemples de calcul numérique de l'ordre

Intégration numérique  ---> V Exemples de calcul numérique de l'ordre
I Introduction picto

II Formules de quadrature et leur ordre picto

III Mise en oeuvre sur Matlab picto

IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature picto

VI Bibliographie

VII Exercices

Index

Intégration numérique  ---> V Exemples de calcul numérique de l'ordre

V-1 Préliminaires

I Introduction picto

II Formules de quadrature et leur ordre picto

III Mise en oeuvre sur Matlab picto

IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature picto

VI Bibliographie

VII Exercices

Index

Ici nous allons vérifier à l'aide de Matlab l'ordre de quelques méthodes de quadrature déjà étudiées précédemment pour approcher la valeur de l'intégrale
I exa= α βf(t)dt
avec
f(t)=1t,α=1,β=2
et une subdivision de plus en plus fine de l'intervalle [α,β] correspondante à
α i=α+αβNi;0iN, et N=2 j;1j20.

V-2 Méthode des rectangles à gauche

V-3 Méthode des trapèzes

V-4 Méthode de Simpson

V-2 Méthode des rectangles à gauche

I Introduction picto

II Formules de quadrature et leur ordre picto

III Mise en oeuvre sur Matlab picto

IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature picto

VI Bibliographie

VII Exercices

Index

On note I rg l'approximation de I exa par la méthode des rectangles à gauche et E rg l'erreur commise. On affiche les valeurs de j, I rg, E rg, E rg/h, et E rg/h 2. Code Matlab
 
clear all;
fid = 1;
fmt = '%% %10d  %20.9e     %20.9e   %20.9e     %20.9e \n';
for j = 1:2:17
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 2^j;
Iexa = log(2);
alpha = 1;
beta = 2;
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
f = inline('1/x','x');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Irg = 0.0;
for i = 1:N
Irg = Irg + h*f(x(i));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Irg
Erg = abs(Iexa - Irg) ;
Erg1 = abs(Iexa - Irg)/h ;
Erg2 = abs(Iexa - Irg)/h^2 ;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fprintf(fid, fmt, j, Irg, Erg, Erg1, Erg2);
end

Les résultats obtenus par ce programme sont:

 
j         Irg              Erg               Erg/h           Erg/h^2

1 8.333333333e-01 1.401861528e-01 2.803723055e-01 5.607446111e-01 3 7.253718504e-01 3.222466981e-02 2.577973585e-01 2.062378868e+00 5 7.010207083e-01 7.873527709e-03 2.519528867e-01 8.062492374e+00 7 6.951041202e-01 1.956939668e-03 2.504882775e-01 3.206249952e+01 9 6.936357002e-01 4.885196685e-04 2.501220703e-01 1.280625000e+02 11 6.932692658e-01 1.220852137e-04 2.500305176e-01 5.120625000e+02 13 6.931776991e-01 3.051850945e-05 2.500076294e-01 2.048062500e+03 15 6.931548100e-01 7.629452736e-06 2.500019072e-01 8.192062496e+03 17 6.931490879e-01 1.907352286e-06 2.500004788e-01 3.276806276e+04

Commentaires:

On constate que E rg/h se stabilise autour de 2.5e-01 alors que E rg/h 2 explose au fur et à mesure que j augmente (les subdivisions de plus en plus fines). Ceci confirme le fait que cette méthode est d'ordre 1.

V-1 Préliminaires

V-3 Méthode des trapèzes

V-4 Méthode de Simpson

V-3 Méthode des trapèzes

I Introduction picto

II Formules de quadrature et leur ordre picto

III Mise en oeuvre sur Matlab picto

IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature picto

VI Bibliographie

VII Exercices

Index

On note I tr l'approximation de I exa par la méthode des trapèzes et E tr l'erreur commise. On affiche les valeurs de j, I tr, E tr, E tr/h, E tr/h 2, et E tr/h 3.

Code Matlab

 
clear all;
fid = 1;
fmt = '%% %10d  %12.9e     %12.9e   %12.9e   %12.9e     %12.9e \n';
for j = 1:2:17
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 2^j;
Iexa = log(2);
alpha = 1;
beta = 2;
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
f = inline('1/x','x');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Itr = 0.0;
for i = 1:N
Itr = Itr + h*(0.5*f(x(i)) + 0.5*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Etr = abs(Iexa - Itr) ;
Etr1 = abs(Iexa - Itr)/h ;
Etr2 = abs(Iexa - Itr)/h^2 ;
Etr3 = abs(Iexa - Itr)/h^3 ;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fprintf(fid, fmt, j, Itr, Etr, Etr1 , Etr2, Etr3);
end

Les résultats obtenus par ce programme sont:

 
j       Itr            Etr            Etr/h         Etr/h^2      Etr/h^3

1 7.08333e-01 1.51862e-02 3.03723e-02 6.07446e-02 1.21489e-01 3 6.94122e-01 9.74670e-04 7.79736e-03 6.23789e-02 4.99031e-01 5 6.93208e-01 6.10277e-05 1.95289e-03 6.24924e-02 1.99976e+00 7 6.93151e-01 3.81467e-06 4.88278e-04 6.24995e-02 7.99994e+00 9 6.93147e-01 2.38418e-07 1.22070e-04 6.25000e-02 3.20000e+01 11 6.93147e-01 1.49012e-08 3.05176e-05 6.25000e-02 1.28000e+02 13 6.93147e-01 9.31321e-10 7.62938e-06 6.24999e-02 5.11999e+02 15 6.93147e-01 5.82108e-11 1.90745e-06 6.25033e-02 2.04811e+03 17 6.93147e-01 3.63654e-12 4.76648e-07 6.24752e-02 8.18875e+03

Commentaires:

On constate que E tr/h 2 se stabilise autour de 6.25e-02 alors que E rg/h 3 explose au fur et à mesure que j augmente. Ceci confirme le fait que cette méthode est d'ordre 2.

V-1 Préliminaires

V-2 Méthode des rectangles à gauche

V-4 Méthode de Simpson

V-4 Méthode de Simpson

I Introduction picto

II Formules de quadrature et leur ordre picto

III Mise en oeuvre sur Matlab picto

IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature picto

VI Bibliographie

VII Exercices

Index

On note I si l'approximation de I exa par la méthode de Simpson et E si l'erreur commise. On affiche les valeurs de j, I si, E si, E si/h 3, E si/h 4, et E si/h 5.

Code Matlab

 
clear all;
fid = 1;
fmt = '%% %3d  %12.5e  %12.5e  %12.5e  %12.5e  %12.5e \n';
for j = 1:1:10
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 2^j;
Iexa = log(2);
alpha = 1;
beta = 2;
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
f = inline('1/x','x');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Isi = 0.0;
for i = 1:N
Isi = Isi + h*(1/6*f(x(i)) + 2/3*f((x(i) + x(i+1))/2) + 1/6*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Esi = abs(Iexa - Isi) ;
Esi3 = abs(Iexa - Isi)/h^3 ;
Esi4 = abs(Iexa - Isi)/h^4 ;
Esi5 = abs(Iexa - Isi)/h^5 ;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fprintf(fid, fmt, j, Isi, Esi, Esi3 , Esi4, Esi5);
end

Les résultats obtenus par ce programme sont:

 
j       Isi           Esi          Esi/h^3       Esi/h^4      Esi/h^5

1 6.93254e-01 1.06788e-04 8.54302e-04 1.70860e-03 3.41721e-03 2 6.93155e-01 7.35009e-06 4.70406e-04 1.88162e-03 7.52650e-03 3 6.93148e-01 4.72259e-07 2.41797e-04 1.93437e-03 1.54750e-02 4 6.93147e-01 2.97299e-08 1.21774e-04 1.94838e-03 3.11740e-02 5 6.93147e-01 1.86151e-09 6.09979e-05 1.95193e-03 6.24619e-02 6 6.93147e-01 1.16398e-10 3.05130e-05 1.95283e-03 1.24981e-01 7 6.93147e-01 7.27574e-12 1.52583e-05 1.95307e-03 2.49992e-01 8 6.93147e-01 4.54081e-13 7.61822e-06 1.95026e-03 4.99268e-01 9 6.93147e-01 2.80886e-14 3.76999e-06 1.93024e-03 9.88281e-01 10 6.93147e-01 2.66454e-15 2.86102e-06 2.92969e-03 3.00000e+00

Commentaires:

On constate que E si/h 4 se stabilise autour de 1.95e-03 alors que E si/h 5 explose au fur et à mesure que j augmente. Ceci confirme le fait que cette méthode est d'ordre 4.

V-1 Préliminaires

V-2 Méthode des rectangles à gauche

V-3 Méthode des trapèzes

VI Bibliographie

Intégration numérique  ---> VI Bibliographie
I Introduction picto

II Formules de quadrature et leur ordre picto

III Mise en oeuvre sur Matlab picto

IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature picto

V Exemples de calcul numérique de l'ordre picto

VII Exercices

Index

  1. Philipe G. Ciarlet. Introduction à l'analyse numérique et à l'optimisation . Dunod 1990.
  2. Jean-Pierre Demailly. Analyse numérique et équations différentielles . Presses Universitaires de Grenoble, 1996.
  3. Ernst Hairer. Introduction à l'analyse numérique . Université de Genève, section mathématiques, case postale 240. Octobre 2001.
Intégration numérique  ---> VI Bibliographie

VII Exercices

I Introduction picto

II Formules de quadrature et leur ordre picto

III Mise en oeuvre sur Matlab picto

IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature picto

V Exemples de calcul numérique de l'ordre picto

VI Bibliographie

Index

Exercice

Soit f:[1,1] une fonction de classe C 2. On considère la méthode d'intégration numérique approchée donnée par
1 1f(x)dxf(w)+f(w), avec w[0,1]
  1. Calculer l'ordre de cette méthode en fonction de w.
  2. On se place dans le cas où cette méthode est d'ordre 1.
    1. Calculer le noyau de Peano G 1(t) et tracer le graphe de G 1 pour w=58. Pour quelles valeurs de w le noyau G 1 est-il de signe constant?
    2. Montrer que l'erreur E(f)= 1 1f(x)dxf(w)f(w) vérifie la majoration
      E(f)C(w)\sup ξ[1,1](f(ξ))
      C(w) est une constante dont on déterminera la valeur optimale
      1. lorsque G 1 est de signe constant.
      2. lorsque w=58.

Exercice

On rappelle que par construction, les méthodes de Newton-Cotes sont les formules de quadratures élémentaires de type
0 1P(x)dx= i=0 nλ iP(x i)
telles que les noeuds x 0<x 1<<x n1<x n soient équidistants et centrés dans l'intervalle [0,1], les λ i étant choisis de telle façon que ces formules soient exactes pour tout polynôme P de degré inférieur ou égale à n. Montrer que si n est pair ces formules sont aussi exactes pour les polynômes de degré n+1. (Indication : on pourra remarquer que λ i=λ ni et en tirer les conséquences pour les polynômes impairs.)

Exercice

Construire les formules d'intégration numérique suivantes :

1 1φ(s)dsφ(1/3)+φ(1/3),hboxexactesiφP 1;

1 1φ(s)dx23(2φ(1/2)φ(0)+2φ(1/2)),hboxexactesiφP 3;

1 1φ(s)ds112(11φ(3/5)+φ(1/5)+φ(1/5)+11φ(3/5)),hboxexactesiφP 3

Déterminer leur noyau de Peano et en déduire l'erreur commise.

Exercice

  1. Montrer que
    1e x1=b 0x+b 1+b 22!x++b 2n(2n)!x 2n1+o(x 2n)
    (Indication : appliquer la formule d'Euler-MacLaurin à e x entre 0 et 1.)
  2. Montrer que si fC () est une fonction périodique de période ba, alors
    T h(f) af b(x)dxC n(f,a,b)h n
    n et où T h(f) représente l'évaluation de la formule des trapèzes de pas h pour f sur [a,b].

Exercice

Soient x 1 et x 2 deux points de [1,1] et λ 1 et λ 2. On considére la formule d'itégration suivante :
1 1f(x)dxλ 1f(x 1)+λ 2f(x 2)
Quelles conditions doivent vérifier x 1,x 2,λ 1 et λ 2 pour que cette formule soit exacte pour
  1. les fonctions constantes?
  2. les fonctions affines?
  3. les polynômes de degré inférieur ou égale à 2?

Exercice

On considère la formule d'intégration suivante :
1 1f(x)dxkf(α)+f(β)(1)
  1. Déterminer les valeurs de k,α et beta pour que (1) soit exacte sur P 2.
  2. En déduire les valeurs de k,α et beta pour que (1) soit d'ordre le plus élevé possible.
    1. Calculer le noyau de Peano dans le cas où (1) est d'ordre 3 et vérifier que ce noyau est une fonction paire.
    2. En déduire qu'il existe ξ]1,1[ tel que E(f)=1135f (4)(ξ)E(f) est l'erreur d'intégration.
    3. Donner la formule d'intégration relative à (1) sur [a,b].
    4. Estimer l'erreur d'intégration obtenue par la méthode composée associée à (1) sur [a,b] avec un pas constant h=ban.

Exercice

On considére la formule d'intégration suivante :
0 πf(x)sin(2x)dxa 1f(x 1)+a 2f(x 2)
  1. Déterminer a 1,a 2,x 1 et x 2 de sorte que cette formule soit exacte sur P 3.
  2. Calculer alors l'ordre de cette méthode.

Exercice

  1. Soit f(x)=11+x 2. Montrer qu'il existe un polynôme P unique de degré 2 vérifiant:
    P(0)=f(0),P(1)=f(1) et P(12)=f(12).
    Déterminer 0 1P(t)dt et la comparer à 0 1f(t)dt.
  2. On considére 0 1sinπt 22dt. On veut calculer cette intégrale avec une erreur inférieur à 10 3.
    1. Déterminer le pas h nécessaire pour la méthode des trapèzes.
    2. Déterminer le pas h nécessaire pour la méthode de Simpson.

Exercice

  1. Trouver l'ordre des formule de : rectangle, trapèze et Simpson.
  2. Pour fC 4([1,1]). On pose
    E(f)= 1 1f(x)dx26[f(1)+4f(0)+f(1)]hboxetK 3(t)=E(x(xt) + 3)
    Montrer que K 3(t)= t 1(xt) 3dx2(23t 3+16(1t) 3).
  3. En déduire K 3(t)=112(1t) 3(1+t). Calculer par deux méthodes différentes 1 1K 3(t)dt.
  4. Enoncer le thérème de Peano et montrer que si fC 4([a,b]) alors on a :
    af b(t)dth6(f(a)+2 k=1 n1f(a k)+4 k=0 n1f(a k+ba2n)+f(b))
    (ba) 52880n 4sup [a,b]f 4(t)

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