Systèmes dynamiques
--- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 17 exercices sur les systèmes dynamiques réels.

Evolution du capital

On dispose d'un compte d'épargne à un taux de %, avec une inflation de %.
L'évolution dans le temps du pouvoir d'achat est donnée par une application

.

Le graphe du pouvoir d'achat est représenté en rouge sur 50 ans. Au bout de combien de temps ? (cliquez sur l'axe du temps)

Dynamique symbolique I

(Sigma , sigma) est le système dynamique à 2 symboles où : Parmi les éléments de Sigma , notons Sigma' l'ensemble des suites telles que si , alors

,

Combien y-a-t-il de points fixes de dans ?

Donner le point fixe :

Combien y-a-t-il des points de période exactement 2 de dans ?

Donner les deux points de période 2 :
 
,

Combien y-a-t-il des points de période exactement 3 de dans ?

Donner les trois points de période 3 :
 
 
, ,
On écrit un point de période sous la forme

.

Par exemple, représente la suite (1,1,1,1,...), représente la suite (1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0...).

Dynamique symbolique II

(Sigma , sigma) est le système dynamique à 2 symboles où : Parmi les éléments de Sigma , notons Sigma' l'ensemble des suites telles que si , alors

.

Combien y-a-t-il de points fixes de dans ?

Donner le point fixe :

Combien y-a-t-il de points de période exactement 2 de dans ?

Donner les deux points de période 2 :
 
,

Combien y-a-t-il de points de période exactement 3 de dans ?

Donner les trois points de période 3 :
 
 
, ,
Combien y a-t-il de points fixés par ? de points fixés par ? Combien y a-t-il de points de période exactement 4 de sigma ? de période exactement de sigma ? On écrit un point de période sous la forme

.

Par exemple, représente la suite (1,1,1,1,...), représente la suite (1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0...).

Points fixes

Soit une application de l'intervalle. Les graphes de (gauche) et de (droite) sont représentés en rouge.

Combien de points fixes a-t-elle ?

L'application n'a pas de points fixes. a point fixe. points fixes. Parmi eux, combien de points sont-ils attractifs ?

Aucun de ces points n'est attractif. Exactement, parmi ces points est attractif. sont attractifs. Combien de points périodiques de période exactement 2 a-t-elle ?

Aucun de ces points n'est périodique de période exactement 2. L'application if{a exactement } point périodique. points périodiques. de période exactement 2. Combien de points périodiques de période exactement 2 a-t-elle ?

L'application n'a pas de points périodiques de période exactement 2. a exactement point périodique points périodiques de période exactement 2. Parmi eux, combien de points sont-ils attractifs ?

Parmi eux, combien de points sont-ils attractifs ?

Famille polynômiale en degré 3

Soit l'application de dans définie par

Quels sont les points fixes de Les points fixes de sont .

Que vaut aux points fixes dans RR :

, ,

Parmi tous les points fixes, lesquels sont attractifs ?

Parmi tous les points, lesquels sont répulsifs ?

On recherche des points périodiques de période 2 ; en particulier quels sont les points non nuls tels que ?

Parmi les points suivants (périodiques de période 2), lesquels sont répulsifs ?

Ecrire ø pour l'ensemble vide. Ecrire +inf , -inf pour les infinis.

Portrait de phase

Soit une application de l'intervalle. Son graphe est représenté en rouge.

Pour un , quelle est l'écriture de ?

Quelle est la valeur du paramètre pour laquelle ?

La transformation identifie l'intervalle au cercle et l'application à un homéomorphisme du cercle.
Quel est le portrait de phase de cet homéomorphisme ?

Point fixe attractif

Soit une application de l'intervalle (graphe rouge).
Indiquez le point fixe attractif en cliquant sur le graphe.

Famille quadratique I

Soit l'application de dans donnée par

.

Les points fixes de sont

Pour chacun des points fixes, donner la dérivée de en ce point et dire s'il est attractif ou répulsif :
point dérivée attractif/répulsif
0

Famille quadratique II

Soit l'application de I = dans donnée par

.

Certains points de l'intervalle I s'en échappent après itérations de .

L'ensemble des points de qui s'échappent en au plus exactement itération itérations est composé de intervalles. Certains points de I s'échappent de après itérations de . L'ensemble des points de qui s'échappent en au plus exactement itérations est composé de intervalles.

Parmi ces intervalles, donner celui qui est le plus proche de :

,

L'application quadratique 4x(1-x)

Soit l'application de lines black, 0,0,1,1

On code l'itinéraire d'un point de différent de sous l'action de pour
  • pour
  • , pour
    • Pour , on lui associe une adresse au temps

    1. Quelle est l'adresse de au temps ?

    Quels sont les points périodiques de de période au plus exactement

    Donner les adresses des points périodiques de période au plus exactement au temps :
    pointadresse

    Rotations

    Soit la rotation du cercle d'angle , où .
    L'application est-elle périodique ?

    Quelle est la période de ?

    Indiquez la représentation correcte de la dynamique sur l'orbite périodique de

    Application standard avec bruit I

    L'application de l'intervalle [ 0, 1 ] dans lui-même dont le graphe est représenté ci-dessous en rouge est de la forme

         modulo 1

    avec

    (epsilon, a) =

    et

    =

    (epsilon, a) = (,) et

    La transformation

    identifie l'intervalle [ 0, 1] au cercle de centre et de rayon et l'application à un homéomorphisme du cercle. Parmi les points gris représentés sur le cercle, cliquer sur ceux appartenant à l'image par la transformation de l'orbite de sous .

    L'orbite de sous est .

    Application standard avec bruit II

    L'application de l'intervalle [ 0, 1 ] dans lui-même dont le graphe est représenté ci-dessous en rouge est de la forme

         modulo 1

    avec

    (epsilon, a) =

    et

    =

    (epsilon, a) = (,) et

    La transformation

    identifie l'intervalle [ 0, 1] au cercle de centre et de rayon et l'application à un homéomorphisme du cercle. Parmi les points gris représentés sur le cercle, cliquer sur ceux appartenant à l'image par la transformation de l'orbite de sous .

    L'orbite de sous est .

    L'application tente

    Soit I l'intervalle = [0, 1]. Soit l'application de dans dont le graphe est représenté en rouge.

    lines black,0,0,1,1

    On code l'itinéraire d'un point de différent de sous l'action de pour
  • pour
  • , pour
    • Pour , on lui associe une adresse au temps

    Quelle est l'adresse de au temps ?

    Quels sont les points périodiques de de période exactement ?

    3. - Donner les adresses au temps des points périodiques de de période exactement

    Trajectoires

    Soit la rotation du cercle d'angle . On représente la dynamique sur l'orbite périodique de pour plusieurs valeurs de .
    Identifiez les correspondances entre ces valeurs de et les trajectoires de .

    Types de point fixe

    Soit , une application qui définit un système dynamique sur , où . Son graphe est tracé en rouge sur l'intervalle .

    Indiquez les points fixes de dans
    est un point fixe
    est un point fixe
    Le bassin d'attraction du point fixe est

    Applications unimodales

    Soit une application de l'intervalle (graphe rouge).

    Ecrire les abscisses (à près) des points fixes de La droite tracée en vert est la tangente de au point fixe . Indiquez le type du point fixe :
    En utilisant éventuellement l'orbite critique (tracée en bleu), identifiez le graphe de l'application

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