Cours/TD d'algèbre linéaire

Algèbre linéaire

Ce document rassemble mes notes de Cours/TD dans le cadre de la préparation au concours externe du capes de mathématiques.

Les notes ici rassemblées concernent les
paragraphes 2.III. (1, 2, 3, 4, 6) du
programme du capes 2002
.

Réalisé sous WIMS dans le cadre du CAMPUS ESCALES, avec le soutien de l'UFR Sciences de Nice et de l'IUFM de Nice

  1. Quelques rappels sur les espaces vectoriels
  2. Séance 1 - durée 1h30
  3. Séance 2 - durée 1h30
  4. Espaces vectoriels de dimension finie
  5. Séance 3 - durée 1h30
  6. Séance 4 - durée 1h30
  7. Formes linéaire - dualité
  8. Séance 5 - durée 1h30
  9. Séance 6 - durée 1h30
  10. Matrice d'une application linéaire
  11. Séance 7 - durée 1h30
  12. Séance 8 - durée 1h30
  13. Applications multilinéaires - Déterminants
  14. Séance 9 - durée 1h30
  15. Séance 10 - durée 1h30
  16. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
  17. Séance 11 - durée 1h30
  18. Séance 12 - durée 1h30
  19. Séance 13 - durée 1h30
  20. Séance 14- durée 1h30
  21. Séance 15 - durée 1h30
  22. Des Exos Inter-Actifs avec WIMS
  23. Exercice sur les notions "Espaces/Sous-espaces vectoriels"

  24. Exercice sur les matrices de trace nulle


Modules d'exercices Exercices sur les endomorphismes d'espaces vectoriels
Exercices sur la réduction des endomorphismes d'espaces vectoriels

Conformément au programme,
le corps de base K est un sous-corps de

Session 1

  • Séance 1 - duré 1h30
  • Séance 2 - duré 1h30
  • Feuille de Travail 1

    Exercice 1   Soient V un K- espace vectoriel , X un ensemble non vide. On note V X l'ensemble des applications de X dans V. Munir V X d'une structure de K- espace vectoriel .


    Petite séance d'entraînement avec WIMS


    Exercice 2   Soit E=K[X] n le K- espace vectoriel des polynômes à une variable, à coefficients dans K, de degré au plus n ( n1).
    1. V={PExK,P(x)=0} est-il un sous-espace vectoriel de E?
    2. Soient W 0={PEP(0)=0} et W 1={PEP(1)=0}.
      a)
      Vérifier que W i(i=0,1) est un sous-espace vectoriel de E.

      W 0+W 1=?
      A i d e ?
      Oui

      b)
      Pour n2, donner une base de W 0W 1.
      c)
      On suppose n2. Soit F 0 (resp. F 1) un supplémentaire de W 0 (resp. W 1) dans E. F 0+F 1 est-il un supplémentaire de W 0W 1? Donner une base d'un supplémentaire de W 0W 1.

    Pour continuer le travail, vous pouvez
    prendre cette séance WIMS

    Exercice 3   Soit q:K 3K la forme quadratique définie par

    q(x,y,z)=2x 2+54y 2+10z 2+xy+yz8xz.

    On considère . est-il un sous-espace vectoriel de RR3? Même question pour .


    Passer à la Feuille de Travail 2
    ou retourner au Sommaire

    Feuille de Travail 2

    Définitions 4   Soient E et F deux K- espaces vectoriels .
    1. L'ensemble des applications linéaires de E dans F est un K- espace vectoriel . Lorsque E=F on parle d'endomorphismes de E.
    2. L'espace des endomorphismes de E, EndK(E) muni de la loi de composition des applications est une K-algèbre.
      Faites en la vérification après avoir rappelé la définition d'une K-algèbre.
      A i d e ?
      Oui
    3. Soit f:E rightarrow F une application linéaire bijective. Alors est linéaire . On dit alors que les deux K- espaces vectoriels E et F sont isomorphes. Lorsque E=F, on parle d'automorphisme de E.
    4. L'ensemble des automorphismes de E ( Aut(E)) muni de la loi de composition des applications est un groupe.
      Faites en la vérification après avoir rappelé la définition d'un groupe.
      A i d e ?
      Oui

    Exercice 5   Soient E1,E2 deux sous-espaces vectoriels d'un K- espace vectoriel E, f:E1×E2 longrightarrow E, l'application linéaire définie par f(x1,x2)=x1+x2. Montrer que Ker(f) est isomorphe à E1 cap E2.

    Exercice 6   Soit E un K- espace vectoriel . On dit que p in EndK(E) est un projecteur si p2=p ( ). Montrer que si p in EndK(E) est un projecteur, alors on a . La réciproque est-elle vraie?

    Définition 7 (Famille libre)  
    1. Soient E un K- espace vectoriel , une famille finie d'éléments de E. On dit que la famille est libre (ou linéairement indépendante) si
      la relation ( lambdai in K)
      entraîne .
      S'il existe non tous nuls tels que , la famille est dite liée.
    2. Une famille quelconque d'éléments de E est dite libre si toute sous-famille finie de est libre.
    3. Si est une famille génératrice et libre, on dit que est une base de E.

    Exercice 8   Pour (p,q) in NN2, calculer . En déduire que la famille est libre dans le RR-espace des fonctions rélles de classe sur RR.


    Passer à la Feuille de Travail 3
    ou retourner au Sommaire

    Session 2

  • Séance 3 - duréee 1h30
  • Séance 4 - duréee 1h30
  • Feuille de Travail 3

    Collection de définitions et résultats fondamentaux sur les espaces vectoriels de dimension finie. - A SAVOIR -

    Définition 2.1   Un K- espace vectoriel E est dit de dimension finie s'il admet un système fini de générateurs .

    Théorème 2.2   Soient E un K-espace de dimension finie, une partie finie de E. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes
    1. est une base de E
    2. est une partie génératrice minimale (pour la relation d'inclusion)
    3. est une partie libre maximale.

    Théorème 2.3   Soient E un K-espace de dimension finie, une partie libre de E, une partie génératrice de E.
    Alors on a n le p.

    Théorème 2.4 (Existence de base en dimension finie)  
    Soient E un K-espace de dimension finie, une partie génératrice finie de E et une partie libre .
    Alors il existe base de E telle que


    Théorème 2.5 (Théorème de la base incomplète)  
    Soient E un K-espace de dimension finie, une partie libre finie, une partie génératrice finie de E.
    Alors il existe tel que est une base de E.

    Théorème 2.6 (dimension)  
    E étant un K- espace vectoriel de dimension finie, toutes les bases de E ont même nombre d'éléments. Ce nombre est appelé dimension de E.

    Travail 2.7  
    Tout K- espace vectoriel E de dimension finie n est isomorphe à Kn.

    Définition 2.8 (Rang d'une famille de vecteurs)  
    Soient E un K- espace vectoriel , une famille de vecteurs de E. On appelle rang de , noté , la dimension (supposée finie) du sous-espace vectoriel de E engendré par .


    Passer à la Feuille de Travail 4
    ou retourner au Sommaire

    Feuille de Travail 4

    Définition 2.9 (Rang d'une application linéaire )  
    Soient E, F deux K- espaces vectoriels , f: E longrightarrow F une application linéaire . On suppose que E est de dimension finie.
    On appelle rang de f, noté rg(f), la dimension du sous-espace vectoriel Im(f) subset F de F.

    Théorème 2.10   Soit où E est de dimension finie n. Alors on a

    rg(f)=dimK(E) - dimK(Ker(f))

    Travail 2.11   Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n, f in EndK(E) un endomorphisme de E. Montrer que Im(f)=Im(f2) entraîne . La réciproque est-elle vraie?

    Travail 2.12   Soient E et F deux K- espaces vectoriels de dimensions finies, f,g: E longrightarrow F deux applications linéaires .
    1. Comparer rg(f+g) et (rg(f)+rg(g)).
    2. Montrer que .

    Travail 2.13   Soit V un K- espace vectoriel . Un endomorphisme non nul u in EndK(V) est dit nilpotent s'il existe un entier p>1 tel que up=0. Le plus petit entier naturel non nul r vérifiant ur=0 est appelé indice de nilpotence de u.
    1. Montrer que si V est de dimension finie d et u in EndK(V) est un endomorphisme nilpotent, alors on a ud=0.
    2. Donner des exemples d'endomorphismes nilpotents (avec différents indices de nilpotence) d'un K- espace vectoriel V de dimension 4.
    3. Soit u un endomorphisme nilpotent d'un K- espace vectoriel V de dimension d>0. r étant l'indice de nilpotence de u, on considère e(u) le sous-espace vectoriel de EndK(V) engendré par . Donner une base de e(u).
    4. On note IdV l'endomorphisme identité de V. Montrer que si u est nilpotent, alors pour tout entier naturel s, (IdV-u)s est un automorphisme de V.
    5. Soit u un endomorphisme nilpotent d'un K- espace vectoriel V de dimension d>0. r étant l'indice de nilpotence de u, on considère x in V vérifiant . Montrer que la famille


      Donner un exemple pour dimK(V)=4.


    Passer à la Feuille de Travail 5
    ou retourner au Sommaire

    Session 3

  • Séance 5 - dureée 1h30
  • Séance 6 - dureée 1h30
  • Feuille de Travail 5

    Définition 3.1 (formes linéaires)  
    Soit E un K- espace vectoriel . On appelle forme linéaire sur E, toute application linéaire f: E longrightarrow K. L'ensemble des formes linéaires sur E a une structure de K- espace vectoriel appelé espace vectoriel dual de E et est noté . Le dual de est appelé bidual de E et est noté

    Définition 3.2 (hyperplan)  
    Soit E un K- espace vectoriel . On appelle hyperplan de E tout supplémentaire d'une droite vectorielle de E.
      est un hyperplan de E   si et seulement si     droite vectorielle telle que   .

    Exercice 3.3  
    1. Soient E un K- espace vectoriel et une forme linéaire non nulle sur E. Montrer que Ker(f) est un hyperplan de E.
    2. Montrer que tout hyperplan H d'un K- espace vectoriel E est le noyau d'une forme linéaire f: E longrightarrow K. L'équation f(x)=0 est alors appelée équation de l'hyperplan H.

    Exercice 3.4   Soit E un K- espace vectoriel (de dimension quelconque). On considère l'application définie par


    Montrer que ev est linéaire injective.

    Théorème 3.5   Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n et une base de E. Alors les formes linéaires définies par

    en savoir plus Kronecker

    forment une base de appelée base duale de la base .

    Exercice 3.6   Soit le RR- espace vectoriel des polynômes à une variable à coefficients dans RR. On prend pour base de E le système et on considère la famille définie par

    fj(Xi)= deltaij

    Montrer que la famille est libre . Cette famille constitue-t-elle une base de ?

    Exercice 3.7   Soit le RR- espace vectoriel des polynômes à une variable à coefficients dans RR et de degré au plus n. On considère la famille définie par


    Vérifier que est une base de et déterminer la base de E dont elle est la duale.


    Définition 3.8 (orthogonalité)   Soient E un K- espace vectoriel et son dual.
    1. On dit que x in E est orthogonal à (ou que est orthogonal à x in E) si f(x)=0.
    2. On dit qu'une partie non vide est orthogonale à une partie non vide si pour tout x in A et tout on a f(x)=0.


    Passer à la Feuille de Travail 6
    ou retourner au Sommaire

    Feuille de Travail 6

    Propriétés 3.9   Soient E un K- espace vectoriel et son dual .
    1. Soit A une partie non vide de E. Alors l'ensemble des formes linéaires orthogonales à A est un sous-espace vectoriel de .
    2. Soient A une partie non vide de E et Vect(A) le sous-espace vectoriel de E engendré par A. Alors on a .
    3. Enoncés analogues pour une partie non vide B de .

    Théorème 3.10 ( dimension du sous-espace orthogonal)  
    Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n.
    1. Pour tout sous-espace vectoriel V de E, on a


    2. Pour tout sous-espace vectoriel W de , on a


    Preuve: Exercice.

    Corollaire 3.11 (double orthogonal)  
    Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n, son dual.
    1. Pour tout sous-espace vectoriel V de E, on a .
    2. Pour tout sous-espace vectoriel W de , on a .

    Exercice 3.12   Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n, V1 et V2 deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer les égalités suivantes:
    1. .
    2. .

    Définition 3.13 (transposée d'une application linéaire )  
    Soient E et F deux K- espaces vectoriels et f: E longrightarrow F une application linéaire . Pour toute forme linéaire , on a . L'application définie par est linéaire et est appelée transposée de f. Pour tout x in E, .

    Exercice 3.14   Soient E, F, G des K- espaces vectoriels . Démontrer les propriétés suivantes:
    1. L'application qui à f associe est linéaire .
    2. Pour tout et tout , on a


    3. Si est bijective, il en est de même de et on a


    4. Si E et F sont des K- espaces vectoriels de dimensions finies, alors l'application qui à f associe est un isomorphisme et on a



    Passer à la Feuille de Travail 7
    ou retourner au Sommaire

    Session 4

  • Séance 7 - durée 1h30
  • Séance 8 - durée 1h30
  • Feuille de Travail 7

    Matrice d'une application linéaire

    Tous les espaces vectoriels considérés dans ce paragraphe seront supposés de dimension finie. Le corps de base est toujours un sous-corps de CC.

    Définition 4.1   Soient E, F deux K- espaces vectoriels de dimensions finies respectives n et p. On suppose E et F munis respectivement des bases et . Soit f: E longrightarrow F une application linéaire . Tout x in E, s'écrit de manière unique

    , xj in K.

    On a donc


    et l'application linéaire f est entièrement déterminée par la donnée des f(ej), .
    Comme est une base de F, pour tout , on a de manière unique


    L'application linéaire f est donc entièrement déterminée par la donnée des p×n scalaires .
    On appelle matrice de l'application linéaire f: E longrightarrow F relativement aux bases et , la matrice à coefficients dans K




    Les coordonnées dans la base du vecteur f(ej) se trouvent sur la j-ème colonne de la matrice ci-dessus.

    Remarques 4.2 (cas particuliers)  
    Soient E, F deux K- espaces vectoriels de dimensions finies respectives n et p, munis respectivement des bases et . Soit f: E longrightarrow F une application linéaire .
    1. Si n=1, est une matrice unicolonne.
    2. Si p=1, est une matrice uniligne.
    3. Si E=F, on a n=p, f est un endomorphisme de E et est une matrice carrée n×n. Si en plus , est notée tout simplement et on parle de la matrice de l'endomorphisme f dans la base .

    Travail 4.3  
    On considère les RR- espaces vectoriels et munis respectivement des bases et . Soit f: E longrightarrow F définie par f(P)=P'. Déterminer .
    Quelle est la matrice dans la base de l'endomorphisme g de F défini par g(P)= XP'?

    Travail 4.4   L' espace euclidien usuel RR3 est supposé muni d'une base orthonormée . On note (x,y,z) les coordonnées d'un vecteur de RR3 dans cette base . Donner dans la base la matrice de chacune des transformations linéaires suivantes:
    1. La symétrie (orthogonale) par rapport au plan des (x,y)
    2. La symétrie (orthogonale) par rapport au plan d'équation x=y
    3. La projection orthogonale sur le plan d'équation y=z

    Exercice 1 avec WIMS
    Exercice 2 avec WIMS
    Exercice 3 avec WIMS
    Exercice 4 avec WIMS


    Passer à la Feuille de Travail 8
    ou retourner au Sommaire

    Feuille de Travail 8

    Travail 4.5   Le K- espace vectoriel étant supposé muni de sa base canonique , on considère l'application f: E longrightarrow E, donnée par f(P)= q(P)+r(P), où q(P) est le quotient de la division de P par X, et r(P) est le reste de la division de P par Xn.
    Montrer que f est un endomorphisme de E et donner la matrice M de f dans la base . Calculer le rang de M.

    Travail 4.6   Soit le K- espace vectoriel des matrices à p lignes et n colonnes, à coefficients dans K. Quelle est la dimension de ? Donner une base de . Soient E et F deux K- espaces vectoriels de dimensions respectives n et p. Montrer que est isomorphe à .

    Travail 4.7 (changement de base )  
    Soient E, F deux K- espaces vectoriels de dimensions finies, . Soient et deux bases de E, et deux bases de F. On pose
    (la matrice faisant passer de la base à la base ),
    (la matrice faisant passer de la base à la base ).
    Soit tel que . Donner en fonction de M, P et Q.

    Travail 4.8   Pour un entier naturel non nul q, GLq(K) désigne le groupe des matrices carrées q×q inversibles.
    1. Montrer que la relation binaire définie sur par


      est une relation d'équivalence sur .
      Deux matrices M et sont dites équivalentes si
    2. Montrer que deux matrices M et sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang .
    3. Montrer que la relation binaire définie sur Mn(K) par


      est une relation d'équivalence sur Mn(K).
      Deux matrices M et N in Mn(K) sont dites semblables si

    Travail 4.9   Soit . Montrer que l'on a rg(M) le 1 si et seulement si


    Travail 4.10 (trace d'une matrice carrée)  
    Soit une matrice carrée n×n à coefficients dans K. On appelle trace de M notée Tr(M) le scalaire


    1. Montrer que l'application Tr: Mn(K) longrightarrow K qui à une matrice carrée n×n associe sa trace est une forme linéaire .
    2. Pour M, N in Mn(K), montrer que

      Tr(MN)=Tr(NM)

    3. Montrer que deux matrices semblables ont même trace.

    Travail 4.11   E est le K- espace vectoriel Mn(K). Etudier l'application définie par


    Travail 4.12   Montrer que toute matrice M in Mn(K) de trace nulle est semblable à une matrice dont tous les termes diagonaux sont nuls.

    Pour commencer, vous pourrez chercher une preuve pour les matrices . Entraînez vous ensuite avec WIMS, puis dégagez l'idée d'une preuve pour une matrice carrée quelconque.

    Exercice sur les matrices de trace nulle


    Passer à la Feuille de Travail 9
    ou retourner au Sommaire

    Session 5

  • Séance 9 - durée 1h30
  • Séance 10 - durée 1h30
  • Feuille de Travail 9

    Applications multilinéaires - Déterminants

    Définition 5.1 (Applications multilinéaires)   Soient et F des K- espaces vectoriels .
    Une application est dite n-linéaire si pour tout ,
    quel que soit ,
    l'application partielle est linéaire .
    Lorsque F=K on parle de forme n-linéaire. Lorsque n=2 (resp. n=3) on parle d'application bilinéaire (resp. trilinéaire).

    Exemple 5.2 (Forme bilinéaire canonique)   Soit E un K- espace vectoriel , son dual . L'application


    est bilinéaire.

    Théorème 5.3   L'ensemble des applications n-linéaires de dans F est un K- espace vectoriel noté .

    Remarque 5.4  
    Ne pas confondre et (l'espace des applications linéaires de l'espace vectoriel produit dans F).

    Travail 5.5   Soient E1, E2, E3 et F des K- espaces vectoriels . Pour , calculer f(x+y) et f( lambda x).

    Travail 5.6   Soit F un RR- espace vectoriel de dimension finie m>0. Calculer les dimensions des RR- espaces vectoriels suivants:
    1. et
    2. et
    3. et

    Travail 5.7   Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie d.
    1. Rappeler la définition d'une forme n-linéaire symétrique sur E. Après avoir vérifier que l'ensemble des formes n-linéaires symétriques sur E est un K- espace vectoriel , calculer la dimension de l'espace vectoriel des formes bilinéaires symétriques sur E.
    2. Mêmes questions que ci-dessus pour ce qui concerne les formes n-linéaires antisymétriques sur E.

    Définition 5.8 (Forme n-linéaire alternée)  
    Soient E et F des K- espaces vectoriels . Une application n-linéaire
    f: En longrightarrow F est dite alternée si pour tout on a:


    Théorème 5.9   Toute application n-linéaire alternée définie sur En est antisymétrique. Réciproquement si le corps de base K n'est pas de caractéristique 2, toute application n-linéaire antisymétrique est alternée.

    Travail 5.10   Prouver le théorème 5.9 ci-dessus.

    Théorème 5.11   E étant un K- espace vectoriel de dimension finie n, le K- espace vectoriel des formes n-linéaires alternées définies sur En est de dimension 1.

    Travail 5.12   Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n et f une forme n-linéaire alternée non nulle définie sur En. Pour , montrer que la famille est liée si et seulement si .

    Théorème-Définition 5.13   Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n. Une base de E étant donnée, il existe une et une seule forme n-linéaire alternée f définie sur En, telle que . Pour , est appelé
    déterminant de relativement à la base et se note


    où tout simplement si le contexte est clair.

    Travail 5.14   Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n, et deux bases de E. Montrer que pour tout , on a


    En particulier si , on a



    Passer à la Feuille de Travail 10
    ou retourner au Sommaire

    Feuille de Travail 10

    Applications multilinéaires - Déterminants

    Théorème 5.15 (Déterminant d'un endomorphisme )  
    Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n et u un endomorphisme de E. Alors il existe un unique scalaire lambda in K tel que pour toute base de E on a


    Ce scalaire lambda s'appelle déterminant de u et est noté det(u).

    Travail 5.16   Donner la preuve du théorème 5.15 ci-dessus.

    Travail 5.17   Soient un K- espace vectoriel de dimension finie n, u et v deux endomorphismes de E. Prouver les énoncés suivants:

    Travail 5.18   Le plan affine réel étant identifié à CC, on se donne n points d'affixes respectifs ai(1 le i le n).
    Etudier la possibilité de construire un polygone du plan affine, dont les Ai sont les milieux des côtés.

    Travail 5.19   Résoudre dans CC3 le système linéaire suivant où t in CC est un paramètre:


    Travail 5.20   a, b et c étant des paramètres réels soumis à la condition a+2b+c=0, résoudre dans RR3 le système linéaire suivant:


    Travail 5.21   Pour un entier n ( n ge 2) et A in Mn(K), donner le rang de com(A) (la comatrice de A) en fonction de celui de A.

    Travail 5.22   theta est un nombre réel fixé. n est un entier naturel ( n ge 2). Calculer le déterminant de la matrice définie par


    Même question pour la matrice définie par



    Passer à la Feuille de Travail 11
    ou retourner au Sommaire

    Session 6

  • Séance 11 - durée 1h30
  • Séance 12 - durée 1h30
  • Séance 13 - durée 1h30
  • Séance 14 - durée 1h30
  • Séance 15 - durée 1h30
  • Feuille de Travail 11

    Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

    6.1 Sous-espaces stables par un endomorphisme

    Définition 6.1.1 (Structure de K-algèbre)   Soient K un corps commutatif, E un ensemble muni d'une addition (notée +), d'une multiplication interne (notée ) et d'une multiplication externe (notée times, à domaine K). On dit que E a une structure de K-algèbre est une K-algèbre) si:
    1. (E,+, ×) est un K- espace vectoriel
    2. est un anneau
    3. Pour tout lambda in K et tout couple (x,y) d'éléments de E on a


    On dit que E a une structure de K-algèbre commutative si l'anneau est commutatif pour la multiplication interne.
    On dit que E a une structure de K-algèbre unitaire si l'anneau admet un élément neutre pour la multiplication interne.



    Soit E un K- espace vectoriel . EndK(E) est le K- espace vectoriel des applications linéaires u: E longrightarrow E. est une K-algèbre.

    Propriété 6.1.2   Si E est un K- espace vectoriel de dimension finie n, alors EndK(E) est isomorphe à Mn(K) et est donc de dimension n2. La donnée d'une base de E détermine un isomorphisme , définie par . est un isomorphisme de K-algèbres.

    Définition 6.1.3  
    Soient E un K- espace vectoriel (de dimension quelconque), V un sous-espace vectoriel de E et u in EndK(E). On dit que V est stable par u si u(V) subset V (i.e. pour tout x in V, on a u(x) in V). Si V est un sous-espace de E stable par u, alors la restriction de u à V est un endomorphisme de V.


    Travail 6.1.4   Soit E un K- espace vectoriel de dimension 4 ( K= RR ou CC) muni d'une base . On note (x1, x2, x3, x4) les coordonnées d'un vecteur dans cette base . Soit ut in EndK(E) ( t in K ) définie par

    u(ei)=e1+2e2+3e3+4e4-tei

    Pour quelles valeurs du paramètre a l'hyperplan vectoriel Ha d'équation ax1+x2+x3+x4=0 est-il stable par ut?
    Pour ces valeurs de a, décrire matriciellement .


    Propriété 6.1.5   Soient u, v in EndK(E). On suppose que (on dit que u et v commutent), alors Im(u) et Ker(u) sont stables par v.


    Définition 6.1.6 (Polynôme d'un endomorphisme )  
    Soient E un K- espace vectoriel , u in EndK(E). A tout polynôme ( ) on associe l'endomorphisme où ( i fois).


    Propriété 6.1.7  
    Pour u in EndK(E) fixé, l'application définie par varphiu(P)=P(u) est un morphisme d'algèbres . Im( varphiu) est une sous-algèbre commutative de EndK(E), ker( varphiu) est un idéal de .


    Théorème 6.1.8 (Théorème de décomposition des noyaux)  
    Soient P, , u in EndK(E). On suppose que (P,Q)=1. Alors .
    Plus généralement, si est un élément de tel que pour on ait (Pi,Pj)=1, alors .


    Travail 6.1.9   Donner un schéma de preuve du théorème 6.1.8 ci-dessus.


    Passer à la Feuille de Travail 12
    ou retourner au Sommaire

    Feuille de Travail 12

    6.2 Valeurs propres d'un endomorphisme



    Définition 6.2.1   Soient E un K- espace vectoriel , u in EndK(E). On dit que lambda in K est une valeur propre de u si . Autrement dit,
    lambda in K est valeur propre de u si et seulement si il existe un vecteur non nul x in E tel que u(x)= lambda x.
    Un vecteur non nul x in E tel que u(x)= lambda x est appelé vecteur propre pour lambda.
    Le sous-espace est appelé sous-espace propre associé à la valeur propre lambda.

    Propriété 6.2.2   Si est une valeur propre de u, le sous-espace propre associé à lambda est stable par u et la restriction de u à est une homothétie de rapport lambda.

    Définition 6.2.3   Soient E un K- espace vectoriel , u in EndK(E). On appelle spectre de u, noté spec(u) (ou sp(u)), l'ensemble des valeurs propres de u.

    Travail 6.2.4   Soient , u in EndK(E) définie par u(P)= P + XP'. Quelles sont les valeurs propres de u?

    Travail 6.2.5   Pour K= RR et pour K= CC, donner un exemple de K- espace vectoriel E et u in EndK(E) tels que .

    Travail 6.2.6   Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n ge 2, u, v in EndK(E). Montrer que et ont mêmes valeurs propres.

    Travail 6.2.7   Peut-on se passer de l'hypothèse "E est de dimension finie" dans l'exercice 6.2.6 ci-dessus?

    Travail 6.2.8   Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n,
    u in EndK(E), .
    Montrer que si lambda in spec(u), alors on a P( lambda) in spec(P(u)).


    Passer à la Feuille de Travail 13
    ou retourner au Sommaire

    Feuille de Travail 13

    6.3 Réduction d'un endomorphisme en dimension finie

    Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n, u un endomorphisme de E. On supposera au besoin E muni d'une base de sorte que u est identifié à sa matrice dans la base .

    Propriété 6.3.1   Soient E un K- espace vectoriel de dimension finie n, u in EndK(E). Alors est une valeur propre de u si et seulement si


    Si on note In la matrice identité d'ordre n, on a est une valeur propre de u (ou de manière équivalente de M) si et seulement si


    Définition 6.3.2   E étant K- espace vectoriel de dimension finie n, pour u in EndK(E) on pose


    On montre que Pu(X) est un polynôme de degré n.
    Pu(X) est appelé le polynôme caractéristique de l'endomorphisme u
    (ou de manière équivalente, le polynôme caractéristique
    de la matrice )
    .

    Propriété 6.3.3   Le polynôme caractéristique est invariant par changement de bases .
    Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique.

    Propriété 6.3.4   Soit M in Mn(K) une matrice carrée d'ordre n. On a


    Rappels 6.3.5  
    1. Si un polynôme non nul admet lambda pour racine de multiplicité alpha, alors il existe tel que et .
    2. Si un polynôme non nul admet pour racines de multiplicités respectives , alors il existe tel que et pour 1 le i le s.
      On a .
      Si alors Q est une constante non nulle et ( k in K). On dit alors que le polynôme P est scindé sur K.
    3. Un corps K sur lequel tout polynôme est scindé est dit algébriquement clos.

    Travail 6.3.6  
    Soit
    Calculer le polynôme caractéristique PM(X) de M et dire pour quelles valeurs du paramètre PM(X) a une racine double.

    Propriété 6.3.7   Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Si lambda est une racine de multiplicité alpha du polynôme caractéristique Pu(X) de u, alors on a


    Travail 6.3.8   Donner une idée de la preuve de la propriété 6.3.7 ci-dessus.


    Passer à la Feuille de Travail 14
    ou retourner au Sommaire

    Feuille de Travail 14

    6.3 Réduction d'un endomorphisme en dimension finie

    Définition 6.3.9   On dit qu'une matrice M in Mn(K) est diagonalisable s'il existe une matrice inversible P in Mn(K) telle que est une matrice diagonale.

    Définition 6.3.10   Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. On dit que u est diagonalisable s'il existe une base de E par rapport à laquelle la matrice de u est diagonale.

    Théorème 6.3.11   Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n; et u in EndK(E). Alors u est diagonalisable si et seulement si il existe polynôme non nul à racines simples tel que P(u)=0.

    Travail 6.3.12   Donner un schéma de preuve pour le théorème 6.3.11 ci-dessus.

    Théorème 6.3.13 (Caractérisation des endomorphismes diagonalisables)  
    Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n et u in EndK(E).
    Les assertions suivantes sont équivalentes
    i)
    u est diagonalisable
    ii)
    Le polynôme caractéristique Pu(X) de u est scindé sur K et pour
    toute racine lambda de multiplicité alpha de Pu(X) on a


    Corollaire 6.3.14   Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n et u in EndK(E). Si u admet n valeurs propres distinctes , alors u est diagonalisable et chaque sous-espace propre est de dimension 1.

    Travail 6.3.15  
    Donner des conditions nécessaires et suffisantes sur les nombres complexes a, b, c pour que la matrice symétrique


    Travail 6.3.16   Soit E un K- espace vectoriel et u un endomorphisme de E. On définit


    1. Montrer que est un endomorphisme de EndK(E).
    2. Montrer que est diagonalisable si et seulement si u est diagonalisable.

    Travail 6.3.17   Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n;
    une base de E. Soient .
    On considère l'endomorphisme u de E défini par


    1. Calculer le polynôme caractéristique de u pour n=2, n=3 et n=4.
    2. Trouver une matrice A in M4( RR) n'ayant aucune valeur propre réelle.
    3. Calculer le polynôme caractéristique de u pour n quelconque.
    4. Montrer que u est diagonalisable si et seulement si u admet n valeurs propres distinctes.
    Soit f un endomorphisme de E ayant n valeurs propres distinctes . Montrer qu'il existe x in E tel que est une base de E. Donner la matrice de f dans la base .


    Passer à la Feuille de Travail 15
    ou retourner au Sommaire

    Feuille de Travail 15

    6.3 Réduction d'un endomorphisme en dimension finie

    Définition 6.3.18   On dit qu'une matrice M in Mn(K) est trigonalisable s'il existe une matrice inversible P in Mn(K) telle que est une matrice triangulaire supérieure.


    Définition 6.3.19   Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. On dit que u est trigonalisable s'il existe une base de E par rapport à laquelle la matrice de u est triangulaire supérieure.


    Théorème 6.3.20 (Caractérisation des endomorphismes trigonalisables)  
    Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n et u in EndK(E).
    Les assertions suivantes sont équivalentes
    i)
    u est trigonalisable
    ii)
    Le polynôme caractéristique Pu(X) de u est scindé sur K.


    Travail 6.3.21   Indiquer brièvement un schéma de preuve du théorème 6.3.20 ci-dessus.


    Propriété 6.3.22  
    Le corps CC étant algébriquement clos, tout endomorphisme u d'un CC-espace vectoriel de dimension finie E est trigonalisable.


    Théorème 6.3.23 (Théorème de Cayley-Hamilton)  
    Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n, u un endomorphisme de E. Alors le polynôme caractéristique de u annule u:

    Pu(u)=0.

    Si u a pour matrice M relativement à une base de E, le théorème de Cayley-Hamilton s'énonce

    PM(M)=0.


    Définition 6.3.24   Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n et . Si lambda est une valeur propre de multiplicité alpha de u, on appelle sous-espace caractéristique associé à la valeur propre lambda, le sous-espace



    Propriétés 6.3.25  
    1. Si lambda est une valeur propre de multiplicité alpha de u, alors le sous-espace caractéristique est de dimension alpha.
    2. Si le polynôme caractéristique de est scindé sur K, alors E est somme directe des sous-espaces caractéristiques associés aux valeurs propres de u.


    Théorème 6.3.26   Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n, tel que le polynôme caractéristique de u soit scindé sur K:


    Alors pour tout i ( 1 le i le s) il existe une base


    telle que


    est une base de E dans laquelle la matrice de u est triangulaire supérieure.


    Travail 6.3.27   En utilisant le théorème 6.3.26 ci-dessus, trigonaliser les matrices suivantes



    Théorème 6.3.28   Soit M in Mn(K) une matrice dont le polynôme caractéristique est scindé sur K:


    Alors il existe une matrice inversible P in Mn(K) telle que


    où est une matrice triangulaire supérieure de la forme .

    La matrice M' ci-dessus est dite diagonale par blocs.


    Corollaire 29   Soit E un K- espace vectoriel de dimension finie n,
    tel que le polynôme caractéristique de u soit scindé sur K.
    Alors u s'écrit d'une manière et d'une seule sous la forme

    u=d+n

    d est un endomorphisme diagonalisable,
    n un endomorphisme nilpotent
    et dn=nd ( n et d commutent).


    Retourner à la Feuille de Travail 14
    ou aller au Sommaire

    Sessions Wims

    Exercice ia1

    Exercice ia2

    Corps

    Un corps est un anneau commutatif dont l'ensemble des éléments non nuls est un groupe multiplicatif.
    Des exemples de corps:

    notes de cours d'algèbre linéaire pour le Capes externe.
    : capes, espaces vectoriels, bases, dimensions, endomorphismes, valeurs propres, vecteurs propres, matrices, wims, mathematics, mathematical, math, maths, interactive mathematics, interactive math, interactive maths, mathematic, online, calculator, graphing, exercise, exercice, puzzle, calculus, K-12, algebra, mathématique, interactive, interactive mathematics, interactive mathematical, interactive math, interactive maths, mathematical education, enseignement mathématique, mathematics teaching, teaching mathematics, algebra, geometry, calculus, function, curve, surface, graphing, virtual class, virtual classes, virtual classroom, virtual classrooms, interactive documents, interactive document


    Cette page n'est pas dans son apparence habituelle parce que WIMS n'a pas pu reconnaître votre navigateur de web.

    Pour accéder aux services de WIMS, vous avez besoin d'un navigateur qui connait les formes. Afin de tester le navigateur que vous utilisez, veuillez taper le mot wims ici : puis appuyez sur ``Entrer''.

    Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne sont pas des fichiers HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE. Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.

    Description: notes de cours d'algèbre linéaire pour le Capes externe. This is the main site of WIMS (WWW Interactive Multipurpose Server): interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games

    Keywords: wims, mathematics, mathematical, math, maths, interactive mathematics, interactive math, interactive maths, mathematic, online, calculator, graphing, exercise, exercice, puzzle, calculus, K-12, algebra, mathématique, interactive, interactive mathematics, interactive mathematical, interactive math, interactive maths, mathematical education, enseignement mathématique, mathematics teaching, teaching mathematics, algebra, geometry, calculus, function, curve, surface, graphing, virtual class, virtual classes, virtual classroom, virtual classrooms, interactive documents, interactive document, Algèbre linéaire, capes, espaces vectoriels, bases, dimensions, endomorphismes, valeurs propres, vecteurs propres, matrices