Cours/TD d'algèbre linéaire
Algèbre linéaire
|
| Réalisé sous WIMS dans le cadre du CAMPUS ESCALES, avec le soutien de l'UFR Sciences de Nice et de l'IUFM de Nice |
-
Quelques rappels sur les espaces vectoriels
-
Séance 1 - durée 1h30
-
Séance 2 - durée 1h30
-
Espaces vectoriels de dimension finie
-
Séance 3 - durée 1h30
-
Séance 4 - durée 1h30
-
Formes linéaire - dualité
-
Séance 5 - durée 1h30
-
Séance 6 - durée 1h30
-
Matrice d'une application linéaire
-
Séance 7 - durée 1h30
-
Séance 8 - durée 1h30
-
Applications multilinéaires - Déterminants
-
Séance 9 - durée 1h30
-
Séance 10 - durée 1h30
-
Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
-
Séance 11 - durée 1h30
-
Séance 12 - durée 1h30
-
Séance 13 - durée 1h30
-
Séance 14- durée 1h30
-
Séance 15 - durée 1h30
-
Des Exos Inter-Actifs avec WIMS
Exercice sur les notions "Espaces/Sous-espaces vectoriels"
Exercice sur les matrices de trace nulle
|
|
|
|
|
|
| Exercice sur les notions "Espaces/Sous-espaces vectoriels" |
| Exercice sur les matrices de trace nulle |
| Modules d'exercices | Exercices sur les endomorphismes d'espaces vectoriels |
|---|---|
| Exercices sur la réduction des endomorphismes d'espaces vectoriels |
Conformément au programme,
|
Session 1
Feuille de Travail 1
Petite séance d'entraînement avec WIMS
1).
A i
d e
?
2, donner une
base
de
W0 
W1.
2. Soit
F0 (resp.
F1) un
supplémentaire
de
W0 (resp.
W1) dans
E.
F0+F1 est-il un
supplémentaire
de
W0 W1? Donner une
base
d'un
supplémentaire
de
W0 W1.
prendre cette séance WIMS
K la
forme quadratique
définie par
On considère . est-il un sous-espace vectoriel de
3?
Même question pour
.
| Passer à la Feuille de Travail 2 |
| ou retourner au Sommaire |
Preuve: Exercice.
Tous les
espaces vectoriels
considérés dans ce paragraphe seront
supposés de
dimension
finie. Le
corps
de base est toujours un sous-corps
de
Soient
E un
K-
espace vectoriel
de
dimension
finie
n,
u un
endomorphisme
de
E. On supposera au besoin
E muni d'une
base
de sorte que
u est
identifié à sa matrice
dans la
base
.
Feuille de Travail 2
Faites en la vérification après avoir
rappelé
la définition d'une
K-algèbre.
A i
d e
?
F une
application linéaire
bijective. Alors
est
linéaire
. On dit alors que les deux
K-
espaces vectoriels
E et
F sont isomorphes. Lorsque
E=F, on
parle d'automorphisme de
E.
Faites en la
vérification après avoir rappelé
la définition d'un groupe.
A i
d e
?
E,
l'application linéaire
définie par
f(x1,x2)=x1+x2. Montrer que
Ker(f)
est isomorphe à
E1 E2.
EndK(E) est un projecteur si
p2=p (
).
Montrer que si
p EndK(E) est un projecteur, alors on a
. La réciproque est-elle vraie?
la relation
(
i K)
entraîne
.
2, calculer
.
En déduire que la famille
est libre dans le
-espace des fonctions
rélles de classe
sur
.
Passer à la
Feuille de Travail 3
ou retourner au
Sommaire
Session 2
Feuille de Travail 3
Alors on a
n 
p.
Soient
E un
K-espace de dimension finie,
une
partie génératrice
finie
de
E et
une
partie libre
.
Alors il existe
base
de
E telle que
Soient
E un
K-espace de dimension finie,
une
partie libre
finie,
une
partie génératrice
finie de
E.
Alors il existe
tel que
est une
base
de
E.
E étant un
K-
espace vectoriel
de dimension finie, toutes les
bases
de
E ont même nombre d'éléments. Ce nombre est appelé dimension
de
E.
Soient
E un
K-
espace vectoriel
,
une famille de vecteurs
de
E. On appelle rang de
, noté
, la dimension (supposée finie) du
sous-espace vectoriel
de
E engendré par
.
Passer à la
Feuille de Travail 4
ou retourner au
Sommaire
Feuille de Travail 4
Soient
E,
F deux
K-
espaces vectoriels
,
f: E F une
application linéaire
. On suppose que
E est de
dimension
finie.
On appelle rang de
f, noté
rg(f), la
dimension
du
sous-espace vectoriel
Im(f) 
F de
F.
EndK(E) un
endomorphisme
de
E.
Montrer que
Im(f)=Im(f2) entraîne
.
La réciproque est-elle vraie?
F deux
applications linéaires
.
EndK(V) est dit nilpotent s'il existe un entier
p>1 tel que
up=0. Le plus petit entier naturel non nul
r
vérifiant
ur=0 est appelé indice de nilpotence de
u.
EndK(V) est
un
endomorphisme
nilpotent, alors on a
ud=0.
V vérifiant
.
Montrer que la famille
Donner un exemple pour
dimK(V)=4.
Passer à la
Feuille de Travail 5
ou retourner au
Sommaire
Session 3
Feuille de Travail 5
Soit
E un
K-
espace vectoriel
. On appelle forme linéaire sur
E, toute
application linéaire
f: E K. L'ensemble
des formes linéaires sur
E a une structure de
K-
espace vectoriel
appelé
espace vectoriel
dual de
E et est
noté
.
Le dual de
est appelé bidual de
E et est noté
Soit
E un
K-
espace vectoriel
. On appelle hyperplan de
E tout
supplémentaire
d'une droite vectorielle de
E.
K.
L'équation
f(x)=0 est alors appelée équation de l'hyperplan
H.
Montrer que
ev est
linéaire
injective.
forment une
base
de
appelée base duale de la
base
.-
espace vectoriel
des polynômes à
une variable à coefficients dans
. On prend pour
base
de
E le
système
et on considère la
famille
définie par
ij
Montrer que la famille
est
libre
. Cette famille constitue-t-elle
une
base
de
?
-
espace vectoriel
des
polynômes à une variable à coefficients dans
et de
degré au plus
n. On considère la famille
définie
par
Vérifier que
est une
base
de
et déterminer
la
base
de
E dont elle est la duale.
E est orthogonal à
(ou que
est orthogonal à
x E) si
f(x)=0.
A et tout
on a
f(x)=0.
Passer à la
Feuille de Travail 6
ou retourner au
Sommaire
Feuille de Travail 6
Soit
E un
K-
espace vectoriel
de
dimension
finie
n.
Soit
E un
K-
espace vectoriel
de
dimension
finie
n,
son dual.
Soient
E et
F deux
K-
espaces vectoriels
et
f: E F une
application linéaire
. Pour toute forme linéaire
,
on a
. L'application
définie par
est
linéaire
et est appelée transposée de
f.
Pour tout
x E,
.
Passer à la
Feuille de Travail 7
ou retourner au
Sommaire
Session 4
Feuille de Travail 7
Matrice d'une
application linéaire
.
F une
application linéaire
. Tout
x E,
s'écrit de manière unique
K.
On a donc
et
l'application linéaire
f est entièrement déterminée par la donnée
des
f(ej),
.
Comme
est une
base
de
F, pour tout
, on a de manière unique
L'application
linéaire
f est donc entièrement déterminée par la
donnée des
p×n scalaires
.
On appelle matrice de l'application
linéaire
f: E F relativement aux
bases
et
,
la matrice à coefficients dans
K
Les coordonnées dans la
base
du vecteur
f(ej) se trouvent
sur la
j-ème colonne de la matrice ci-dessus.
Soient
E,
F deux
K-
espaces vectoriels
de
dimensions
finies respectives
n et
p, munis respectivement des
bases
et
. Soit
f: E F une
application linéaire
.
On considère les
-
espaces vectoriels
et
munis respectivement des
bases
et
.
Soit
f: E F définie par
f(P)=P'. Déterminer
.
Quelle est la matrice dans la
base
de
l'endomorphisme
g de
F
défini par
g(P)= XP'?
3 est supposé muni d'une
base orthonormée
. On note
(x,y,z)
les coordonnées d'un vecteur de
3 dans cette
base
. Donner dans
la
base
la matrice de chacune des transformations
linéaires
suivantes:
Exercice 1
avec WIMS
Exercice 2
avec WIMS
Exercice 3
avec WIMS
Exercice 4
avec WIMS
Passer à la
Feuille de Travail 8
ou retourner au
Sommaire
Feuille de Travail 8
E, donnée par
f(P)= q(P)+r(P), où
q(P) est le quotient de la division de
P par
X, et
r(P) est le reste de
la division de
P par
Xn.
Montrer que
f est un
endomorphisme
de
E et donner la matrice
M de
f dans
la
base
. Calculer le
rang
de
M.
Soient
E,
F deux
K-
espaces vectoriels
de
dimensions
finies,
. Soient
et
deux
bases
de
E,
et
deux
bases
de
F. On pose
(la matrice faisant passer de
la
base
à la
base
),
(la matrice faisant passer de
la
base
à la
base
).
Soit
tel que
. Donner
en fonction de
M,
P et
Q.
est une
relation d'équivalence
sur
.
Deux matrices
M et
sont dites équivalentes si
est une
relation d'équivalence
sur
Mn(K).
Deux matrices
M et
N Mn(K) sont dites semblables si
1 si et seulement si
Soit
une matrice carrée
n×n à coefficients dans
K. On appelle trace de
M notée
Tr(M) le scalaire
K qui à une matrice
carrée
n×n associe sa trace est une
forme linéaire
.
Mn(K), montrer que
Mn(K) de trace nulle est semblable à
une matrice dont tous les termes diagonaux sont nuls.
Pour commencer, vous pourrez chercher une preuve pour les matrices
. Entraînez vous ensuite avec WIMS, puis dégagez l'idée d'une preuve pour une matrice carrée quelconque.
Exercice sur les matrices de trace nulle
Passer à la
Feuille de Travail 9
ou retourner au
Sommaire
Session 5
Feuille de Travail 9
Applications multilinéaires - Déterminants
Une application
est dite
n-linéaire si pour tout
,
quel que soit
,
l'application partielle
est
linéaire
.
Lorsque
F=K on parle de forme
n-linéaire.
Lorsque
n=2 (resp.
n=3) on parle d'application bilinéaire
(resp. trilinéaire).
est bilinéaire.
Ne pas confondre
et
(l'espace des
applications linéaires
de
l'espace vectoriel
produit
dans
F).
x).
-
espace vectoriel
de
dimension
finie
m>0.
Calculer les
dimensions
des
-
espaces vectoriels
suivants:
Soient
E et
F des
K-
espaces vectoriels
. Une application
n-linéaire
f: En F est dite alternée
si pour tout
on a:
En particulier si
, on a
Passer à la
Feuille de Travail 10
ou retourner au
Sommaire
Feuille de Travail 10
Applications multilinéaires - Déterminants
Soient
E un
K-
espace vectoriel
de
dimension
finie
n et
u un
endomorphisme
de
E. Alors il existe un unique scalaire
K tel que
pour toute
base
de
E on a
Ce scalaire
s'appelle déterminant de
u et est noté
det(u).
, on se donne
n
points
d'affixes respectifs
ai(1 i n).
Etudier la possibilité de construire un polygone du plan affine, dont les
Ai sont les milieux des côtés.
3 le système linéaire suivant où
t est un paramètre:
3 le système linéaire
suivant:
2) et
A Mn(K), donner le rang de
com(A) (la comatrice de
A) en fonction de celui de
A.
est un nombre réel fixé.
n est un entier naturel (
n 2). Calculer le déterminant de la matrice
définie par
Même question pour la matrice
définie par
Passer à la
Feuille de Travail 11
ou retourner au
Sommaire
Session 6
Feuille de Travail 11
Réduction des
endomorphismes
et des matrices carrées
6.1 Sous-espaces stables par un
endomorphisme
, à domaine
K). On dit
que
E a une structure de
K-algèbre
est une
K-algèbre)
si:
On dit que
E a une structure de
K-algèbre commutative si
l'anneau
est commutatif pour la multiplication interne.
K et tout couple
(x,y) d'éléments
de
E on a
On dit que
E a une structure de
K-algèbre unitaire si
l'anneau
admet un élément neutre pour
la multiplication interne.
Soit
E un
K-
espace vectoriel
.
EndK(E) est le
K-
espace vectoriel
des
applications linéaires
u: E E.
est une
K-algèbre.
Soient
E un
K-
espace vectoriel
(de
dimension
quelconque),
V un
sous-espace vectoriel
de
E et
u EndK(E). On dit que
V est stable par
u si
u(V) V
(i.e. pour tout
x V, on a
u(x) V).
Si
V est un
sous-espace
de
E stable par
u, alors la restriction
de
u à
V est un
endomorphisme
de
V.
ou
) muni d'une
base
. On note
(x1, x2, x3, x4) les coordonnées d'un
vecteur dans cette
base
. Soit
ut EndK(E) (
t K )
définie par
Pour quelles valeurs du paramètre
a l'hyperplan vectoriel
Ha
d'équation
ax1+x2+x3+x4=0 est-il stable par
ut?
Pour ces valeurs de
a, décrire matriciellement
.
EndK(E). On suppose que
(on dit que
u et
v commutent), alors
Im(u) et
Ker(u)
sont stables par
v.
Soient
E un
K-
espace vectoriel
,
u EndK(E). A tout
polynôme
(
) on
associe
l'endomorphisme
où
(
i fois).
Pour
u EndK(E) fixé, l'application
définie par
u(P)=P(u) est un
morphisme d'algèbres
.
Im( u) est une sous-algèbre
commutative de
EndK(E),
ker( u) est un
idéal
de
.
Soient
P,
,
u EndK(E).
On suppose que
(P,Q)=1.
Alors
.
Plus généralement, si
est un
élément de
tel que pour
on ait
(Pi,Pj)=1,
alors
.
Passer à la
Feuille de Travail 12
ou retourner au
Sommaire
Feuille de Travail 12
6.2 Valeurs propres d'un
endomorphisme
EndK(E). On dit que
K est une valeur propre de
u si
. Autrement dit,
K est valeur propre
de
u si et seulement si il existe un vecteur non nul
x E tel
que
u(x)= x.
Un vecteur non nul
x E tel que
u(x)= x est appelé
vecteur propre pour
.
Le
sous-espace
est appelé
sous-espace
propre associé à la valeur propre
.
est
stable par
u et la restriction de
u à
est une
homothétie de rapport
. EndK(E). On appelle
spectre de
u, noté
spec(u) (ou
sp(u)), l'ensemble des valeurs
propres de
u.
EndK(E) définie par
u(P)= P + XP'. Quelles
sont les valeurs propres de
u?
et pour
K= , donner un exemple de
K-
espace vectoriel
E et
u EndK(E) tels que
.
2,
u, v EndK(E). Montrer que
et
ont mêmes
valeurs propres.
u EndK(E),
.
Montrer que si
spec(u),
alors on a
P( ) spec(P(u)).
Passer à la
Feuille de Travail 13
ou retourner au
Sommaire
Feuille de Travail 13
6.3 Réduction d'un
endomorphisme
en
dimension
finie
EndK(E). Alors
est une valeur propre de
u
si et seulement si
Si on note
In la matrice identité d'ordre
n, on a
est une valeur propre de
u (ou de manière équivalente de
M)
si et seulement si
EndK(E) on pose
On montre que
Pu(X) est un polynôme
de degré
n.
Pu(X) est appelé le polynôme caractéristique de
l'endomorphisme
u
(ou de manière
équivalente, le polynôme caractéristique
de la matrice
).
Mn(K) une matrice carrée d'ordre
n. On a
pour
racine de multiplicité
, alors il existe
tel
que
et
.
i s.
On a
.
Si
alors
Q est une
constante non nulle et
(
k K). On dit alors que le
polynôme
P est scindé sur
K.
Soit
Calculer le polynôme caractéristique
PM(X) de
M et dire pour
quelles valeurs du paramètre
PM(X) a une racine double.
est une racine de multiplicité
du polynôme caractéristique
Pu(X) de
u, alors on a
Passer à la
Feuille de Travail 14
ou retourner au
Sommaire
Feuille de Travail 14
6.3 Réduction d'un
endomorphisme
en
dimension
finie
Mn(K) est diagonalisable s'il existe
une matrice inversible
P Mn(K) telle que
est une matrice diagonale.
EndK(E). Alors
u est diagonalisable si et seulement si il
existe
polynôme non nul à racines simples tel que
P(u)=0.
Soit
E un
K-
espace vectoriel
de
dimension
finie
n et
u EndK(E).
Les assertions suivantes sont équivalentes
toute racine
de multiplicité
de
Pu(X) on a
EndK(E). Si
u admet
n valeurs propres distinctes
, alors
u est diagonalisable et
chaque
sous-espace
propre
est de
dimension
1.
Donner des conditions nécessaires et suffisantes sur les nombres
complexes
a, b, c pour que la matrice symétrique
une
base
de
E. Soient
.
On considère
l'endomorphisme
u de
E défini par
Soit
f un
endomorphisme
de
E ayant
n valeurs propres distinctes
. Montrer qu'il existe
x M4( )
n'ayant aucune valeur propre réelle.
E tel que
est une
base
de
E. Donner la
matrice de
f dans la
base
.
Passer à la
Feuille de Travail 15
ou retourner au
Sommaire
Feuille de Travail 15
6.3 Réduction d'un
endomorphisme
en
dimension
finie
Mn(K) est trigonalisable s'il existe
une matrice inversible
P Mn(K) telle que
est une matrice triangulaire supérieure.
Soit
E un
K-
espace vectoriel
de
dimension
finie
n et
u EndK(E).
Les assertions suivantes sont équivalentes
Le
corps
étant algébriquement clos, tout
endomorphisme
u d'un
-espace vectoriel de
dimension finie
E est
trigonalisable.
Soit
E un
K-
espace vectoriel
de
dimension
finie
n,
u un
endomorphisme
de
E. Alors le polynôme caractéristique de
u
annule
u:
Si
u a pour matrice
M relativement à une
base
de
E, le
théorème de Cayley-Hamilton s'énonce
est une valeur propre de multiplicité
de
u, on appelle sous-espace caractéristique
associé à la
valeur propre
, le
sous-espace
est une valeur propre de multiplicité
de
u, alors le sous-espace caractéristique
est de
dimension
.
Alors pour tout
i (
1 i s) il existe une
base
telle que
est une
base
de
E dans laquelle la
matrice de
u est triangulaire supérieure.
Mn(K) une matrice
dont le polynôme caractéristique est
scindé sur
K:
Alors il existe une matrice inversible
P Mn(K) telle que
La matrice
M' ci-dessus est dite diagonale par blocs.
tel que le polynôme caractéristique de
u soit
scindé sur
K.
Alors
u s'écrit d'une manière et d'une seule
sous la forme
où
d est un
endomorphisme
diagonalisable,
n un
endomorphisme
nilpotent
et
dn=nd (
n et
d commutent).
Retourner à la
Feuille de Travail 14
ou aller au
Sommaire
Corps
Un corps est un
anneau
commutatif dont l'ensemble des éléments non nuls est un groupe multiplicatif.
/p où
p est un nombre premier
, corps des nombres rationnels
, corps des nombres réels
, corps des nombres complexes