OEF geometria 2D --- Introduzione ---

Questo modulo raggruppa 35 esercizi relativi alla geometria piana, alle isometrie del piano e ai gruppi di isometrie del piano.

Le tre versioni dell'esercizio Proprietà delle isometrie riguardano i tipi seguenti:

  1. Traslazioni, simmetrie centrali e riflessioni;
  2. Tralsazioni, simmetrie centrali, riflessioni e glissoriflessioni;
  3. Tralsazioni, simmetrie centrali, riflessioni e glissoriflessioni, rotazioni.


Asse di una riflessione/glissoriflessione

Ecco quattro punti , , , tali che la distanza da a sia uguale alla distanza da a . Esiste una riflessione (o una glissoriflessione) tale che e tale che .
Costruisci l'asse di questa riflessione (o glissoriflessione).

È una . È una glissoriflessione. Disegnare il vettore traslazione uscente dal punto

Birapporto

Qual è il birapporto di quattro punti ?
In effetti il birapporto di quattro punti è uguale a .

Si consideri una retta tale che il punto sia il di e (il disegno non è conforme). Scrivere il punto come baricentro dei punti et = * + *

La somma dei pesi dovrà essere uguale a 1.


Baricentro di un triangolo (Ceva)

Nella figura seguente, il punto è il di e di . Il punto è il baricentro di e di .

Dunque, è il baricentro di ( , ) e di ( , ).

Cambiamento di riferimento affine

Si considerino in i punti , e .
Dare le coordinate del punto nel riferimento +

Aree di triangoli II

Ecco due triangoli. Il primo ha area . Determinare l'area del secondo:
Area = Area =

Composizione rotazione - riflessione

Si desidera calcolare la composizione della rotazione di centro e angolo gradi e della riflessione di asse .
Si scrive come composizione di due riflessioni di assi e con la retta parallela a e passante per il centro della rotazione .

.

Si ha

L'isometria è una traslazione

L'isometria è una traslazione e è la composizione di una riflessione e di una traslazione. Si tratta di una glissoriflessione.
  1. La retta è tracciata in verde, tracciare la retta .

  2. Tracciare la retta

  3. Cliccare sulla proiezione di lungo la retta

  4. Tracciare l'asse della glissoriflessione di


Coniugato armonico

Fissare sulla retta un punto tale che il birapporto di , , , sia (si dice che è il coniugato armonico di rispetto ad e ). Lo si determini come intersezione tra la retta e una retta passante per .

Isometrie del piano: decomposizione

La figura nel cerchio è la trasformata della figura centrale mediante un'isometria del piano.
L'isometria è .

Si può scrivere l'isometria come composizione di una traslazione e di una rotazione di centro riflessione il cui asse passa per .

L'angolo di rotazione è (compreso tra 0 e , si tratta di un angolo "notevole"). L'equazione della retta è .

Il vettore traslazione è .



Rotazione: prodotto di riflessioni

Si desidera decomporre la rotazione di centro e angolo gradi come composizione di due riflessioni

.

La retta è tracciata in rosso, tracciare la seconda retta .

Calcolo nel gruppo diedrale

Sia la rotazione di centro O e angolo e sia la riflessione rispetto alla retta . Sia .

Allora è una . La si scrive come . È la riflessione rispetto alla retta numero . si scrive come . È la rotazione di angolo .

Nota: l'esponente di deve essere un intero positivo inferiore all'ordine di rotazione . L'angolo deve essere compreso tra 0 e


Sottogruppi di simmetria

Il disegno di sinistra ha come gruppo di simmetria il gruppo di un formato dagli elementi:

.

Nel disegno di destra , è stata spezzata la simmetria. Qual è il suo gruppo di simmetria , sottogruppo di ?

Osservare se le , per , hanno tutte H come gruppo di simmetria: in questo caso è un sottogruppo normale di ?


Rette invarianti

Selezionate tutte le proprietà verificate dall'isometria del piano quando è .

Natura di un'isometria affine

Il punto è l'immagine di mediante un'isometria affine. Qual è la natura di questa isometria?
, , ,

Sposta il punto per vedere come si muove il punto . Se non vedi il punto , prova a spostare il punto .



Pedine 1

Ecco alcune pedine. La distanza tra due pedine è la distanza tra i loro centri.

I quadretti hanno lati di lunghezza 1.


Pedine 2

Ecco alcune pedine. La distanza tra due pedine è la distanza tra i loro centri.

I quadretti hanno lati di lunghezza 1.


Pedine 3

Ecco alcune pedine. La distanza tra due pedine è la distanza tra i loro centri.
Riportare tutte le possibili distanze tra le pedine.

Scrivere sqrt(a) per la radice quadrata di .

I quadretti hanno lati di lunghezza 1.


Pedine 4

Ecco alcune pedine. La distanza tra due pedine è la distanza tra i loro centri. Cliccare su una pedina che ha distanza dalla pedina viola.

I quadretti hanno lati di lunghezza 1.


Glissoriflessione

Sia la riflessione avente per asse la retta di equazione e la traslazione di vettore .
L'isometria è una . Nella scomposizione canonica della glissoriflessione L'equazione dell'asse della riflessione l'equazione dell'asse della riflessione è
  • il vettore della traslazione è

  • Glissoriflessione 0

    Sia la riflessione avente per asse la retta di equazione e la traslazione di vettore .
    L'isometria è una . Nella scomposizione canonica della glissoriflessione L'equazione dell'asse della riflessione l'equazione dell'asse della riflessione è
  • il vettore della traslazione è

  • Gruppi di simmetria

    Cosa possiamo dire del gruppo di simmetria della figura?

    Il suo gruppo di simmetria riflessioni;
    è un gruppo di ordine

    Composizione e natura

    Nel piano, la composizione di una e di una può essere una

    Si suppone che le isometrie precedenti non siano uguali all'identità.


    Quante isometrie?

    Quante isometrie mandano la figura A nella figura B?


    Parallele e traslazione

    Ecco due rette parallele di equazioni

    , .

    Trovare una traslazione che manda la retta nella retta .

    A ciascuno il suo nome

    Mettere in corrispondenza i poligono regolari e il loro nome:

    A ciascuno il suo numero di lati

    Mettere in corrispondenza i poligoni regolari e il loro numero di lati:

    Proprietà delle isometrie (1)

    Nel piano, l'isometria è .
    Selezionate tutte le proprietà verificate da .

    Proprietà delle isometrie (2)

    Nel piano, l'isometria è .
    Selezionate tutte le proprietà verificate da .

    Proprietà delle isometrie (3)

    Nel piano, l'isometria è .
    Selezionate tutte le proprietà verificate da .

    Riconoscere una isometria

    Nel piano, considerare una isometria che verifica la o le proprietà seguenti:

    L'isometria può essere:

    Selezionare tutti i tipi possibili.

    Composizione di simmetrie centrali

    Siano la simmetria centrale di centro di coordinate , la simmetria centrale di centro di coordinate et la simmetria centrale di centro di coordinate .
    La composizione è una .
    La composta è una simmetria centrale (cioè una rotazione). è una traslazione.
    Dare .
    Cliccare .

    Quiz: parallele o perpendicolari?

    Tra le rette seguenti, date mediante equazione cartesiana e mediante equazioni parametriche (con parametro reale), dire quali sono alla retta di equazione
    .

    Aree di triangoli

    Ecco tre triangoli. Il primo ha area . Determinare l'area degli altri due:
    Area = Area = Area =

    Coordinate trilineari

    Il triangolo è un triangolo equilatero di altezza . Cliccare sul punto di coordinate ():

    Coordinate trilineari e rette

    Il triangolo è un triangolo equilatero di altezza . Ad un punto interno al triangolo si risale attraverso le sue coordinate . Disegnare il segmento corrispondente a

    Prodotto di tre riflessioni

    La composizione di tre riflessioni rispetto a tre rette non parallele è una glissoriflessione. Disegnare l'asse della glissoriflessione


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