Résolution d'équations

Résolution d'équations


Sur la résolution des équations de base

I Égalité

II Équation

III Problème

I Égalité

Définition [Égalité]

Une égalité est une phrase mathématique dans laquelle il y a un signe égal. Cette égalité peut être vraie ou fausse.

Exemple

  • Soit t la taille du professeur. L'égalité t=184 cm est vraie !
  • Soit m la masse du professeur. L'égalité m=24 kg est (heureusement) fausse.

Une égalité peut être écrite avec un nombre inconnu, le plus souvent désigné par une lettre, par exemple 9x+28=16x. Tester l'égalité, c'est regarder si l'égalité est vraie pour une valeur particulière donnée à x.

Exemple [ ]

Gardons l'équation ci-dessus : 9x+28=16x. L'égalité est-elle vraie si x=10 ? si x=4 ?
  • Quand x=10, on donne 10 comme valeur particulière de x dans l'égalité précédente. On calcule séparément la valeur des membres de gauche et de droite de l'égalité avec cette valeur particulière.
    9x+28=9×10+28, soit 118 et pour l'autre membre, 16x=16×10 soit 160. Les nombres 118 et 160 ne sont pas égaux donc l'égalité est fausse pour x=10. On dit aussi que 10 n'est pas solution de l'équation.
  • Faisons le même travail pour x=4.
    Pour le membre de gauche : 9x+28=9×4+28 soit 64. Et pour l'autre membre, 16x=16×4 soit 64. Quand x=4, les deux membres sont égaux ; on dit que 4 est solution de l'équation. Mais qu'est-ce qu'une équation ?
Résolution d'équations → I Égalité

II Équation

Définition [Équation]

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu désigné par une lettre.

Définition [Résoudre une équation]

Résoudre une équation, c'est déterminer la valeur (ou les valeurs) que doit prendre cette inconnue pour que l'égalité soit vérifiée.

Exercice

  • [ ] Quelles valeurs peut-on donner à x pour que l'équation 0×x=0 soit vraie ?
  • [ ] Quelles valeurs peut-on donner à x pour que l'équation 0×x=1 soit vraie ?

Solution
  • On peut donner n'importe quelle valeur, il y a une infinité de solution. Plus tard dans la scolarité, on verra d'autres équations qui ont 2, 3 ... solutions.
  • Il n'y a pas de solution !
On résout une équation comme le montre les exemples suivants, en retenant les règles générales ci-après :

Proposition

On ne change pas les solutions d'une équation quand :
  • On additionne un même nombre à ses deux membres ;
  • On soustrait un même nombre à ses deux membres ;
  • On multiplie par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;
  • On divise par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;

II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

Résolution d'équations → II Équation

II-1 Premier exemple


On veut résoudre l'équation t7=10, on procède ainsi :
t7 = 10 t7+7 = 10+7 t = 17
La solution de l'équation est t=17.
Résolution d'équationsII Équation → II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple


On veut résoudre l'équation q+7=25, on procède ainsi :
q+7 = 25 q+77 = 257 q = 18
La solution de l'équation est q=18.
Résolution d'équationsII Équation → II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple


On veut résoudre l'équation 10s=30, on procède ainsi :
10s = 30 10s10 = 3010 s = 3

La solution de l'équation est s=3.
Résolution d'équationsII Équation → II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple


On veut résoudre l'équation x11=4, on procède ainsi :
x11 = 4 x11×11 = 4×11 x = 44

La solution de l'équation est x=44.
Résolution d'équationsII Équation → II-4 Quatrième exemple

III Problème

Il y a trois étapes à respecter pour la rédaction des résolutions des problèmes :
  1. Si elle n'est pas imposée par l'énoncé, le choix de l'inconnue. Généralement, soit x ce que l'on cherche .
  2. Mise en équation du problème et sa résolution.
  3. Conclusion par une phrase au problème posé.


Exercice

Le père d'Augustin a cinq fois l'âge de son fils et si l'on ajoute 9 à la somme de leur âge, on trouve un 51.
Solution
  1. Choix de l'inconnue Soit x l'âge d'Augustin.
    • Mise en équation Le père d'Augustin a cinq fois son âge, donc son âge est de : 5x ;
      La somme de leur âge est donc de 5x+x=6x.
      Si on ajoute 9 à la somme de leur âge, on trouve 51, d'où l'équation 6x+9=51
    • Résolution
      6x+9 = 51 6x = 519 6x = 42 x = 426 x = 7

  2. Augustin a donc 7 ans. (Bonus : son père a 35 ans !)
Résolution d'équations → III Problème

document sur la signification d'une équation et sur sa résolution (niveau élémentaire).
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