Sur les inéquations

Sur les inéquations

I Définitions

Définition : [Inéquation]

Une inéquation est une inégalité dans laquelle intervient un nombre inconnu désigné le plus souvent par une lettre.

Exemple : [ ]

2x 2+8<7x4

Définition : [Résoudre une inéquation]

Résoudre une inéquation, c'est déterminer toutes les valeurs que peut prendre l'inconnue afin que l'inéquation soit vérifiée. Ces valeurs sont les solutions de l'inéquation.
Tests de valeurs

Exemple : [ ]

On considère l'inéquation 7x+6<x+4 . La valeur 9 est-elle solution ? La valeur 2 ?
On calcule chacun de deux membres avec la valeur particulière donnée :
Pour la valeur 9, on a : 7x+6=57 et x+4=13. On a bien 57<13 donc, 9 est bien solution
Pour la valeur 2, on a : 7x+6=8 et x+4=6. On a bien 8<6 donc, 2 est bien solution
Sur les inéquations → I Définitions

II Méthode

Comment résoudre une inéquation ?
  • Objectif : Isoler x dans un membre de l'inéquation.
  • Procédé : Transformer l'inéquation initiale en une inéquation équivalente, c'est-à-dire ayant le même ensemble solution.
Règles

Théorème : [Résolution d'inéquations]

On ne change pas l'ensemble solution d'une inéquation en :
  • Ajoutant un même nombre (positif ou négatif) à ses deux membres.
  • Multipliant (ou divisant) par un même nombre strictement positif les deux membres de cette inéquation.
  • Multipliant (ou divisant) par un même nombre strictement négatif les deux membres de cette inéquation, à condition de changer le sens de l'inéquation.
Sur les inéquations → II Méthode

III Exemples

Premier exemple


On veut résoudre l'inéquation : 10x+34x+8
On procède ainsi :
10x+3 4x+8 10x+34x 4x+84x 6x+3 8 6x+33 83 6x 5 6x6 56 x
On hachure la partie non solution (ici en rouge), et surligne (ici en vert) la partie solution. Il est important de toujours mentionner la légende. (Certaines personnes hachurent la partie solution, il n'y a pas de règle, il faut préciser à chaque fois.)
Deuxième exemple

On veut résoudre l'inéquation : 5x+312x4
On procède ainsi :
5x+3 12x4 5x+312x 12x412x 7x+3 4 7x+33 43 7x 1 7x7 17 x
On hachure la partie non solution (ici en rouge), et surligne (ici en vert) la partie solution. Il est important de toujours mentionner la légende. (Certaines personnes hachurent la partie solution, il n'y a pas de règle, il faut préciser à chaque fois.)
Sur les inéquations → III Exemples

IV Exercices


Exercice :

Résoudre une inéquation - Méthode

Sur les inéquations → IV Exercices

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