Droites et plans (géométrie analytique)

Droites et plans (géométrie analytique)


Introduction

Dans ce document, les droites et les plans sont définis par des équations cartésiennes ou une représentation paramétrique. Ces différents points de vue illustrent dans le cadre géométrique les notions de compatibilité et d'ensemble de solutions des systèmes linéaires.

Avertissement
Ce document a pour objectif d'aider à la transition du lycée à l'université, spécialement de préparer l'apprentissage de l'algèbre linéaire. C'est pourquoi on introduit quelques notions de base sur les systèmes linéaires qui peuvent apparaître superflues dans un cadre simple. Il est parsemé d'exercices qui peuvent être regroupés par l'enseignant dans une feuille de sa classe. Les exemples aléatoires peuvent être renouvelés en cliquant sur l'étoile en bas de page ou sur le lien Recharger.

I Droites dans le plan

Dans les parties II et III, on considère l'espace affine muni d'un repère (O,i,j,k) (même si pour les figures, on le prendra orthonormal, il est inutile de lui supposer cette propriété) et on note (x,y,z) les coordonnées d'un point M de dans ce repère. A l'aide de ce repère, on identifie et 3.

II Plans dans l'espace

III Droites dans l'espace

I Droites dans le plan

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan

Introduction

Une droite du plan peut être donnée par une équation cartésienne, c'est-à-dire une relation caractéristique entre les coordonnées des points qui la composent. On peut aussi définir géométriquement une droite par la donnée d'un point et d'un vecteur directeur ou de deux points ; il en résulte analytiquement une représentation paramétrique de la droite.

Dans cette partie, on considère le plan affine 𝒫 muni d'un repère (O,u,v) (même si pour les figures, on le prendra orthonormal, il est inutile de lui supposer cette propriété) et on note (x,y) les coordonnées d'un point M de 𝒫 dans ce repère. A l'aide de ce repère, on identifie 𝒫 et 2.

I-1 Equation cartésienne d'une droite

I-2 Représentation paramétrique d'une droite

I-3 Direction d'une droite

Dans les paragraphes suivants, on est amené à résoudre de petits systèmes linéaires. On en profite pour donner quelques éléments pour leur résolution ; ces conseils préparent la méthode de résolution du pivot de Gauss qui sera utilisée dans des cas plus compliqués.

I-4 Systèmes linéaires

I-5 D'une équation cartésienne à une représentation paramétrique

I-6 D'une représentation paramétrique à une équation cartésienne

I-7 Position relative de deux droites

Droites et plans (géométrie analytique) → I Droites dans le plan

I-1 Equation cartésienne d'une droite

Droites et plans (géométrie analytique)I Droites dans le plan → I-1 Equation cartésienne d'une droite

I-1-1 Définition : Equation cartésienne d'une droite

Droites et plans (géométrie analytique)I Droites dans le planI-1 Equation cartésienne d'une droite → I-1-1 Définition : Equation cartésienne d'une droite

Définition

Soient a et b deux réels non nuls en même temps (on note (a,b)(0,0)) et un autre réel c. L'ensemble des points M de 𝒫 dont les coordonnées (x,y) vérifient ax+by=c est une droite Δ du plan. La droite Δ dépend du choix de a, b et c. On note :
Δ={(x,y) 2ax+by=c}
On dit que ax+by=c est une équation cartésienne de Δ.

Remarque

Connaissant une équation cartésienne d'une droite, pour la tracer, il suffit de déterminer deux points, c'est-à-dire deux couples (x,y) qui vérifient cette équation.


Exemple aléatoire

La droite Δ d'équation = passe par les points A de coordonnées (,) et B de coordonnées (3,1). En effet leurs coordonnées vérifient : (1×())(3×())= et (1×(3))(3×(1))=.

Exercices

Point à coordonnées entières sur une droite
Point sur une droite donnée par une équation cartésienne
Droite passant par un point
Sélectionner une équation pour une droite définie par deux points

Remarque

Si ax+by=c est une équation cartésienne de Δ, alors pour tout λ non nul, λax+λby=λc est une équation cartésienne de Δ. Pour plus de précisions voir le premier exemple ici .
On peut aussi écrire ax+byc=0 l'équation ax+by=c.

Exemple

La droite d'équation 2x4y=6 admet x2y=3 comme équation cartésienne. Ici on a pris λ=12.
Droites et plans (géométrie analytique)I Droites dans le planI-1 Equation cartésienne d'une droite → I-1-1 Définition : Equation cartésienne d'une droite

I-1-2 Cas particuliers et figure interactive

Par définition, on sait que, si a (resp. b) est nul, l'autre coefficient b (resp. a) n'est pas nul.
  1. Cas a=0 : Une droite d'équation by=c est parallèle à l'axe des abscisses puisque ses points ont tous pour ordonnée y=cb.
  2. Cas b=0 : Une droite d'équation ax=c est parallèle à l'axe des ordonnées puisque ses points ont tous pour abscisse x=ca.
  3. Cas c=0 : Une droite d'équation ax+by=0 passe par l'origine O.
  4. Cas b=1 : L'équation réduite d'une droite y=ax+b (avec a et b deux réels donnés) est un cas particulier d'équation cartésienne.

Figure

La droite rouge Δ a pour équation ax+by=c. Faites varier les coefficients a, b et c pour retrouver les cas particuliers, puis pour superposer la droite rouge sur la droite verte D. On peut zoomer si les droites sont hors champs. Proposez plusieurs équations de la droite D. Que se passe-t-il pour a=b=0 ?

Remarque

On ne s'intéresse pas à l'équation réduite d'une droite car une droite d'équation x=c (avec c un réel donné) n'admet pas une telle équation et ce type d'équation privilégie une des coordonnées. On préfère des équations symétriques.

I-1-3 Détermination d'une équation cartésienne

Déterminer une équation cartésienne d'une droite Δ passant par A de coordonnées (x A,y A) et dirigée par w de composantes (α,β), c'est déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les coordonnées (x,y) d'un point M pour qu'il appartienne à Δ.
Le point M appartient à Δ si et seulement si AM est colinéaire à w. La relation de colinéarité donne une équation cartésienne de Δ : α(yy A)β(xx A)=0. (Ce résultat est démontré ici .)
Dans le cas d'une droite passant par deux points distincts A et B, on sait que (AB) admet pour vecteur directeur AB.

Exercices


Sélectionner un vecteur directeur
Equation cartésienne d'une droite passant par deux points avec indication
Equation cartésienne d'une droite passant par deux points sans indication
Equation cartésienne d'une droite donnée par un point et un vecteur directeur

I-2 Représentation paramétrique d'une droite

Droites et plans (géométrie analytique)I Droites dans le plan → I-2 Représentation paramétrique d'une droite

I-2-1 Définition

Proposition

Soit Δ la droite passant par A un point du plan de coordonnées (x A,y A) et dirigé par un vecteur w non nul de composantes (α,β). Un point M du plan, de coordonnées (x,y), appartient à Δ si et seulement si le système d'équations
(𝒮):{x = x A+tα y = y A+tβ
admet une solution en t.
On appelle 𝒮 une représentation paramétrique (de paramètre réel t) de Δ.

Démonstration
La droite Δ passant par A et dirigée par w est l'ensemble des points M de 𝒫 tels que AM soit colinéaire à w. Dire que AM est colinéaire à w c'est dire qu'il existe un réel t tel que AM=tw. Pour (x,y) coordonnées de M, cette égalité s'écrit :
{x = x A+tα y = y A+tβ
Chaque valeur du paramètre t donne les coordonnées d'un point de Δ ; réciproquement si les coordonnées d'un point admettent une telle écriture pour une certaine valeur de t, ce point appartient à Δ.
Fin de la démonstration

Consultez l'exemple à la page suivante.

Exercice

Point sur une droite donnée par une représentation paramétrique.

I-2-2 Exemple



Exemple aléatoire

Soient A de coordonnées (;) et w le vecteur de composantes (3;2). Une représentation paramétrique de la droite Δ (tracée en bleu) passant par A et dirigé par w est :

{x = y =

Le point B de coordonnées (;) est le point de Δ qui correspond à la valeur t=2 dans cette représentation. Le vecteur AB est égal à 2w.

Le vecteur w(NaN;NaN) est aussi un vecteur directeur de Δ puisqu'il est colinéaire à w. Quand on écrit Δ comme la droite passant par B et dirigée par w, on obtient la représentation paramétrique :

{x = y =

Dans cette représentation, le point A correspond à la valeur s=1.

I-3 Direction d'une droite

On rappelle que si A et B sont deux points distincts d'une droite Δ, le vecteur AB est un vecteur directeur de Δ et que tout vecteur directeur de Δ s'écrit MN avec M et N des points de Δ.

Définition

Soit une droite Δ du plan. On appelle direction de Δ, et on note Δ, l'ensemble des vecteurs directeurs de Δ augmenté du vecteur nul.
Δ={AB,AΔ,BΔ}

Définition

On dit que deux droites sont parallèles si elles ont mêmes vecteurs directeurs, c'est-à-dire même direction.

I-3-1 Direction d'une droite donnée par une représentation paramétrique

I-3-2 Direction d'une droite donnée par une équation cartésienne

I-3-1 Direction d'une droite donnée par une représentation paramétrique

Droites et plans (géométrie analytique)I Droites dans le planI-3 Direction d'une droite → I-3-1 Direction d'une droite donnée par une représentation paramétrique
Soit une droite Δ donnée par une représentation paramétrique
{x = x 0+tα y = y 0+tβ
Un vecteur directeur de Δ est w=M 0M 1 où le point M 0 de paramètre t=0 et M 1 de paramètre t=1. Par un simple calcul, on obtient les coordonnées (α,β) de w. On en déduit la proposition suivante.

Proposition

Soit une droite Δ de représentation paramétrique
{x = x 0+tα y = y 0+tβ
La direction de Δ est l'ensemble des vecteurs colinéaires à w=(α,β) :
Δ={λw,λ}
soit après identification du plan et de 2 :
Δ={(λα,λβ),λ}

Exercice


Représentation paramétrique d'une parallèle
Droites et plans (géométrie analytique)I Droites dans le planI-3 Direction d'une droite → I-3-1 Direction d'une droite donnée par une représentation paramétrique

I-3-2 Direction d'une droite donnée par une équation cartésienne

Droites et plans (géométrie analytique)I Droites dans le planI-3 Direction d'une droite → I-3-2 Direction d'une droite donnée par une équation cartésienne
On considère maintenant le cas où la droite Δ est donnée par une équation cartésienne ax+by=c.

Proposition

Soit une droite Δ d'équation cartésienne ax+by=c avec (a,b)(0,0). La direction de Δ est l'ensemble des vecteurs dont les composantes sont les solutions de l'équation ax+by=0. On appelle l'équation ax+by=0 l'équation homogène associée à ax+by=c.

Démonstration
On va commencer par montrer l'inclusion ΔSol(ax+by=0), puis Sol(ax+by=0)Δ.
Soit un vecteur directeur de Δ. Il s'écrit M 0M 1 avec M 0 et M 1 deux points distincts de Δ ; leurs coordonnées respectives (x 0,y 0) et (x 1,y 1) vérifient l'équation ax+by=c, c'est-à-dire on a : ax 0+by 0=c et ax 1+by 1=c. Par différence, on obtient a(x 1x 0)+b(y 1y 0)=0. Ainsi les composantes du vecteur M 0M 1 vérifient l'équation homogène ax+by=0. On en déduit que la direction de Δ est contenue dans l'ensemble des solutions de ax+by=0. Le vecteur nul est bien sûr solution de ax+by=0.
Il reste à montrer que tout vecteur non nul solution de ax+by=0 est directeur de Δ. Soit w(α,β) une solution non nulle de ax+by=0 et M 0 un point de Δ de coordonnés (x 0,y 0). Soit M 1 le point défini par M 0M 1=w. Les coordonnées de M 1 sont (x 0+α,y 0+β). Le point M 1 appartient à Δ, en effet on a :
a(x 0+α)+b(y 0+β)=(ax 0+by 0)+(aα+bβ)=c+0=c
Donc le vecteur w solution de ax+by=0 est un vecteur directeur de Δ puisqu'il est égal à M 0M 1 avec M 0 et M 1 points distincts de Δ.
Fin de la démonstration

Remarque

Pour λ *, l'équation λax+λby=λc est une autre équation de Δ. Son équation homogène associée λax+λby=0 est équivalente à l'équation homogène associée à ax+by=0. Elles ont donc même ensemble de solutions. Tout est cohérent.

Exercices

Vecteur directeur d'une droite donnée par une équation cartésienne.
Equation d'une parallèle à une droite donnée par une équation
Equation d'une parallèle donnée par une représentation paramétrique.
Droites et plans (géométrie analytique)I Droites dans le planI-3 Direction d'une droite → I-3-2 Direction d'une droite donnée par une équation cartésienne

I-4 Systèmes linéaires

Dans la résolution d'un système linéaire, on s'attache à procéder par équivalence, c'est-à-dire à remplacer un système par un système équivalent. Deux systèmes équivalents ont même ensemble de solutions. Toute transformation des équations qui permet de passer de l'un à l'autre est réversible.

Définition

On note Sol(𝒮) l'ensemble des solutions d'un système 𝒮. Si Sol(𝒮) est vide, on dit que 𝒮 est incompatible. Sinon, 𝒮 est dit compatible.

Exemple

Pour λ0, les équations (E 1)ax+by=c et (E λ)λax+λby=λc sont équivalentes. En effet, on transforme (E 1) en (E λ) en multipliant la première par λ. Réciproquement, en divisant (E λ) par λ on obtient (E 1).

Exemple

Le système
𝒮 1:{2x + 4y = 1 3x + 7y = 2
est équivalent à
𝒮 1:{2x + 4y = 1 2y = 1
Notons L 1 et L 2 (resp. L 1 et L 2) les lignes de 𝒮 1 (resp. 𝒮 1). Pour passer de 𝒮 1 à 𝒮 1, on remplace L 2 par 2L 23L 1 ; pour passer de 𝒮 1 à 𝒮 1, on remplace L 2 par 12(L 2+3L 1). Les systèmes sont équivalents.
Dans cet exemple, on a obtenu un système triangulaire en éliminant x dans la seconde équation. On dit qu'on a échelonné le système.
Le processus d'échelonnement, un peu superflu dans ces exemples simples où la substitution fonctionne bien, va se préciser et paraître de plus en plus utile quand la complexité du problème va augmenter.
La solution se calcule en commençant par la deuxième équation : y=12 puis dans la première, on obtient : x=12. On a montré que le système a une unique solution :
Sol(𝒮)={(12,12)}
Par précaution, on vérifie ce résultat en injectant cette solution dans 𝒮 1 :
{22 + 42 = 1 32 + 72 = 2

Exemple

L'équation 2x+y=1 donne une contrainte pour deux inconnues. Il reste un degré de liberté et l'une peut donc être choisie librement. Donnons, par exemple, à x la valeur t alors y vaut alors 12t.
Sol(2x+y=1)={(t,12t),t}

Remarque

Formellement, on garde toujours les inconnues à gauche du signe =. Quand une inconnue est libre, c'est un paramètre et on la renomme pour mettre en évidence ce statut.

I-5 D'une équation cartésienne à une représentation paramétrique

Droites et plans (géométrie analytique)I Droites dans le plan → I-5 D'une équation cartésienne à une représentation paramétrique
Dans ce paragraphe, on considère une droite donnée par une équation cartésienne et on établit une représentation paramétrique de cette droite.
Soit une droite Δ d'équation cartésienne ax+by=c avec (a,b)(0,0). Donner une représentation paramétrique de Δ, c'est résoudre l'équation ax+by=0 comme on l'a fait dans un exemple de systèmes linéaires (voir ici ).
Si b est nul, a ne l'est pas. On n'a pas de contrainte sur y à qui on donne la valeur t ; une représentation paramétrique de Δ est donc
{x = ca y = t
La droite est parallèle à l'axe des ordonnées.
Si b n'est pas nul, on pose x=bt (on pourrait aussi poser x=t ou x=25at, on a le choix) et on calcule y ; après division par b (qui n'est pas nul), on obtient y=cbat. Une représentation paramétrique de Δ est donc
{x = bt y = caat
De cette représentation paramétrique, on déduit que la droite passe par le point (0,cb) et est dirigée par (b,a), ceci est cohérent avec l'équation cartésienne.

Remarque

On constate que si l'on choisit x comme paramètre, on retrouve l'équation réduite : y=caabx. L'équation réduite peut donc être vue comme une représentation paramétrique de paramètre x.
Droites et plans (géométrie analytique)I Droites dans le plan → I-5 D'une équation cartésienne à une représentation paramétrique

I-6 D'une représentation paramétrique à une équation cartésienne

Droites et plans (géométrie analytique)I Droites dans le plan → I-6 D'une représentation paramétrique à une équation cartésienne

I-6-1 Méthode

Comme dans ce paragraphe , on considère une droite Δ de représentation paramétrique :
{x = x A+tα y = y A+tβ
avec (α,β)(0,0) et t un paramètre qui parcourt . Une équation cartésienne de Δ est donnée par la proposition suivante.

Proposition

Soit A un point du plan de coordonnées (x A,y A) et un vecteur w non nul de composantes (α,β). La droite Δ passant par A et dirigée par w admet pour équation cartésienne α(yy A)β(xx A)=0.

Démonstration
On cherche une équation cartésienne de Δ, c'est-à-dire une condition nécessaire et suffisante sur x et y (c.-à-d. sur le point M) pour que le système 𝒮, équivalent à la représentation paramétrique, ait une solution en t (c.-à-d. que M appartienne à Δ).
𝒮:{αt = xx A βt = yy A
  1. Cas α=0 : Une équation cartésienne de Δ est x=x A. En effet si la condition x=x A est vérifiée, on peut calculer t puisque, si α est nul, β ne l'est pas ; on obtient t=β 1(yy A).
  2. Cas α0 : Le système 𝒮 est équivalent au système
    𝒮:{αt = xx A 0 = α(yy A)β(xx A)
    En effet on a remplacé la ligne L 2 par αL 2βL 1 et, pour passer de 𝒮 à 𝒮, il suffit de remplacer L 2 par α 1(L 2+βL 1). Le système 𝒮 a une solution en t (cette solution est α 1(xx A)) si et seulement si x et y vérifient
    α(yy A)β(xx A)=0
    Cette équation est donc une équation cartésienne de Δ et la condition de compatibilité du système en t.
Fin de la démonstration

Remarque

Dans la démonstration, on a encore privilégié l'échelonnement à la substitution (calculer t dans une équation et injecter le résultat dans l'autre). Il s'agit encore ici de préparer les cas complexes en constatant dans un cas simple que la condition de compatibilité a un sens géométrique.
Consultez l'exemple et la figure à la page suivante.

Exercice

Equation cartésienne d'une droite donnée par une représentation paramétrique.

I-6-2 Exemple et figure



Exemple aléatoire

Soit Δ 2 la droite de représentation paramétrique
𝒮 2:{x = y =
Une équation cartésienne de Δ 2 est =.

Figure

Sur la figure suivante, la droite Δ 3 est la droite passant par M et dirigée par le vecteur w. Sa représentation paramétrique et son équation cartésienne sont affichées. Observez leurs évolutions en faisant varier le point M et les composantes (α,β) du vecteur w. Entraînez-vous à passer d'une équation cartésienne à une représentation paramétrique et réciproquement.

I-7 Position relative de deux droites

Droites et plans (géométrie analytique)I Droites dans le plan → I-7 Position relative de deux droites
On rappelle que deux droites du plan sont soit parallèles (confondues ou strictement parallèles) soit sécantes.
Soient Δ et Δ deux droites d'équations cartésiennes respectives ax+by=c et ax+by=c (avec (a,b)(0,0) et (a,b)(0,0) bien sûr). L'intersection de Δ et Δ ou l'ensemble de leurs points communs est l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient les deux équations donc c'est l'ensemble des solutions du système Σ de deux équations à deux inconnues x et y.
Σ:{ax + by = c ax + by = c
La figure regroupe tous les cas.

I-7-1 Droites sécantes

I-7-2 Droites strictement parallèles

I-7-3 Droites confondues

I-7-4 Figure et exercice

Droites et plans (géométrie analytique)I Droites dans le plan → I-7 Position relative de deux droites

I-7-4 Figure et exercice

Exercice


Position relative de deux droites, système linéaire

Figure à observer dans ses variations :
Sur cette figure, la droite verte D est fixe, elle est dirigée par le vecteur w. La droite rouge Δ est la droite passant par M et dirigée par w=αu+βv. Le point P est le point d'intersection des deux droites, quand il existe. Faites varier w pour tester l'existence de P. Observez les équations des droites.
Faites varier w et M pour superposer les deux droites.


I-7-1 Droites sécantes

I-7-2 Droites strictement parallèles

Deux droites du plan sont strictement parallèles (c'est-à-dire parallèles et non confondues) quand le système Σ n'admet aucune solution.

Exemple

Soient Δ 2 et Δ 2 deux droites d'équations cartésiennes respectives 2x+4y=1 et 6x+12y=2. Comme précédemment, on échelonne le système
Σ 2:{2x + 4y = 1 6x + 12y = 2
en remplaçant L 2 par L 23L 1 et on obtient le système échelonné équivalent suivant :
Σ 2:{2x + 4y = 1 0 = 23
Le système est incompatible car 1 est différent de 0 donc Sol(Σ 2) est l'ensemble vide.
Géométriquement ceci signifie que Δ 2 et Δ 2 sont parallèles (voir la définition ici ). On le constate aussi en remarquant les équations 2x+4y=0 et 6x+12y=0 de leurs directions sont proportionnelles (voir direction ).
Consultez la figure .

I-7-3 Droites confondues

Quand le système Σ admet une infinité de solutions, cela signifie que les droites sont confondues ; les deux équations sont proportionnelles.

Exemple

Soient Δ 3 et Δ 3 deux droites d'équations cartésiennes respectives 2x+4y=1 et 6x+12y=2. Comme précédemment, on échelonne le système
Σ 3:{x + 2y = 1 3x + 6y = 3
est équivalent à
Σ 3:{x + 2y = 1 0 = 0
Par ce calcul, on constate, si on ne l'avait pas fait avant, que les équations cartésiennes de Δ 3 et Δ 3 sont proportionnelles donc les droites sont confondues.

II Plans dans l'espace

Droites et plans (géométrie analytique) → II Plans dans l'espace

Introduction

Un plan de l'espace peut être donné par une équation cartésienne, c'est-à-dire une relation caractéristique entre les coordonnées des points qui la composent. On peut aussi définir géométriquement un plan par la donnée d'un point et d'une paire de vecteurs directeurs non colinéaires ; il en résulte analytiquement une représentation paramétrique du plan. L'étude des plans dans l'espace est similaire à celle des droites dans le plan à ceci près qu'il faut deux paramètres pour repérer un point d'un plan.

II-1 De la définition géométrique à une représentation paramétrique

II-2 D'une représentation paramétrique à une équation cartésienne

II-3 D'une équation cartésienne à une représentation paramétrique

II-4 Direction d'un plan de l'espace

II-5 Intersection de deux plans dans l'espace

Droites et plans (géométrie analytique) → II Plans dans l'espace

II-1 De la définition géométrique à une représentation paramétrique

Droites et plans (géométrie analytique)II Plans dans l'espace → II-1 De la définition géométrique à une représentation paramétrique
Pour les plans dans l'espace, on choisit de s'appuyer sur la définition géométrique.

Définition

Dans l'espace , on considère un point A et deux vecteurs non colinéaires u 1 et u 2. Le plan passant par A et dirigé par u 1 et u 2 est l'ensemble des points M de tels que AM soit une combinaison linéaire de u 1 et u 2.
Si A a pour coordonnées (x 0,y 0,z 0) et u 1 (respectivement u 2) pour composantes (α 1,β 1,γ 1) (respectivement (α 2,β 2,γ 2)). Une représentation paramétrique (de paramètres t et s) de ce plan est :
{x = x 0 + tα 1 + sα 2 y = y 0 + tβ 1 + sβ 2 z = z 0 + tγ 1 + sγ 2
En effet, pour un point M de coordonnées (x,y,z), le vecteur AM est une combinaison linéaire de u 1 et u 2 si et seulement si il existe deux réels t et s vérifiant AM=tu 1+su 2.
La représentation paramétrique traduit analytiquement cette équivalence.

Exercice


Point d'un plan donné par une représentation paramétrique
Droites et plans (géométrie analytique)II Plans dans l'espace → II-1 De la définition géométrique à une représentation paramétrique

II-2 D'une représentation paramétrique à une équation cartésienne

Droites et plans (géométrie analytique)II Plans dans l'espace → II-2 D'une représentation paramétrique à une équation cartésienne
La représentation paramétrique d'un plan s'établit vite mais n'est pas très commode pour décider si un point appartient au plan ou non. Il s'agit de décider si un système de trois équations à deux inconnues t et s admet une solution. Comme le plan ne recouvre pas tout l'espace, il est des cas où ce système n'aura pas de solution. La condition de compatibilité du système, qui est une relation entre x, y et z, est une équation cartésienne du plan.

Exemple

Soit le plan Pi passant par A(1,1,2) et dirigé par u 1(1 0 1) et u 2(0 2 1). Une représentation paramétrique de Pi est :
{x = 1 + t y = 1 + 2s z = 2 + t + s
Considérons les points M et N de coordonnées respectives (3,1,5) et (3,1,1). Il s'agit de résoudre, pour ces valeurs particulières de (x,y,z) le système (Σ) en (t,s) :
(Σ){ t = x1 2s = y+1 t + s = z2
Finissons d'échelonner le système, en retranchant à la dernière ligne la somme de la première et de la moitié de la seconde, nous obtenons un système (Σ) équivalent à (Σ) :
(Σ){ t = x1 2s = y+1 0 = z2(x1)12(y+1)
La condition de compatibilité du système est donc : 2x+y2z+3=0. Les coordonnées de M vérifient cette condition et en résolvant le système, on obtient AM=2u 1+u 2. Donc M appartient à Pi.
Remplaçons (x,y,z) par les coordonnées (3,1,1) de N dans le système (Σ). La première équation donne t=2 et la seconde s=1. Si on s'arrête ici, satisfait d'avoir des valeurs pour t et s, on néglige la troisième équation qui n'admet pas cette solution (2,1), en effet on a 31. Pour le point N, le système est incompatible, les coordonnées de N ne vérifie pas la condition de compatibilité du système. Il n'existe aucun couple (t,s) tel que AN=tu 1+su 2. Le point N n'appartient pas à Pi.

Exercice

Equation cartésienne d'un plan donné par une représentation paramétrique
Droites et plans (géométrie analytique)II Plans dans l'espace → II-2 D'une représentation paramétrique à une équation cartésienne

II-3 D'une équation cartésienne à une représentation paramétrique

Droites et plans (géométrie analytique)II Plans dans l'espace → II-3 D'une équation cartésienne à une représentation paramétrique

Théorème

Soient a, b et c trois réels non nuls en même temps (on note (a,b,c)(0,0,0)) et un autre réel d. L'ensemble des points M de dont les coordonnées (x,y,z) vérifient ax+by+cz=d est un plan 𝒫 de l'espace.
On dit que ax+by+cz=d est une équation cartésienne de 𝒫. Pour tout réel lambda non nul, λax+λby+λcz=λd est aussi une équation cartésienne de 𝒫.

Démonstration
Intuitivement, on impose une contrainte à un point qui dépend de trois coordonnées donc il reste deux degrés de liberté, plus précisément :
Au moins l'un des coefficients a, b et c n'est pas nul, supposons que a n'est pas nul. Si on pose y=t et z=s de l'équation ax+by+cz=d, on tire x=1a(dbtcs). L'ensemble {(x,y,z)ax+by+cz=d} est donc le plan passant par A(da,0,0) et dirigé par les vecteurs de composantes (ba,1,0) et (ca,0,1) qui ne sont pas colinéaires.
Une représentation paramétrique pour ce plan est
{x = da bat cas y = t z = s
Fin de la démonstration

Exemple

Le plan d'équation cartésienne x+2yz=1 a pour représentation paramétrique :
{x = 1 2t + s y = t z = s
C'est le plan passant par B(1,0,0) et dirigé par v 1(2 1 0) et v 2(1 0 1).

Exemple

Considérons le plan d'équation cartésienne 2yz=1. On pose x=t (aucune contrainte ne pèse sur x) et y=s ( y et z sont liés par une équation, on peut choisir librement l'une des deux coordonnées) et une représentation paramétrique du plan est :
{x = t y = s z = 1 + 2s
C'est le plan passant par C(0,0,1) et dirigé par w 1(1 0 0) et v 2(0 1 2).

Exercices


Point d'un plan défini par une équation cartésienne.
Représentation paramétrique d'un plan défini par une équation cartésienne.
Droites et plans (géométrie analytique)II Plans dans l'espace → II-3 D'une équation cartésienne à une représentation paramétrique

II-4 Direction d'un plan de l'espace

Droites et plans (géométrie analytique)II Plans dans l'espace → II-4 Direction d'un plan de l'espace

Définition

Soit un plan Pi de l'espace. On appelle direction de Pi, et on note Π, l'ensemble des vecteurs MN avec MΠ et NΠ.
Π={MN,MΠ,NΠ}

Proposition

Soit Π 1 le plan passant par un point A et dirigé par deux vecteurs non colinéaires u 1 et u 2. La direction de Π 1 est l'ensemble des vecteurs combinaisons linéaires de u 1 et u 2.
Soit Π 2 le plan d'équation cartésienne ax+by+cz=d avec (a,b,c)(0,0,0). La direction de Π 2 est l'ensemble des solutions de l'équation ax+by+cz=0. On appelle l'équation ax+by+cz=0 l'équation homogène associée à ax+by+cz=d.

L'affirmation pour Π 1 résulte des définitions. L'affirmation pour Π 2 se démontre comme pour la droite ici .
Droites et plans (géométrie analytique)II Plans dans l'espace → II-4 Direction d'un plan de l'espace

II-5 Intersection de deux plans dans l'espace

Droites et plans (géométrie analytique)II Plans dans l'espace → II-5 Intersection de deux plans dans l'espace

II-5-1 Plans parallèles

Définition

On dit que deux plans sont parallèles s'ils ont même direction.

Proposition

Deux plans parallèles dans l'espace sont soit confondus, soit disjoints.

Démonstration
Soient Π 1 et Π 2 d'équations respectives a 1x+b 1y+c 1z=d 1 et a 2x+b 2y+c 2z=d 2. Ces plans sont parallèles si et seulement si les équations de leurs directions a 1x+b 1y+c 1z=0 et a 2x+b 2y+c 2z=0 sont proportionnelles. Alors les points de l'intersection de Π 1 et Π 2 sont les solutions du système
{a 1x + b 1y + c 1z = d 1 a 2x + b 2y + c 2z = d 2
Si le premier membre de la seconde ligne est proportionnelle de la première dans le rapport μ, alors le système est équivalent à :
{a 1x + b 1y + c 1z = d 1 0 = d 2μd 1
Le système est compatible si et seulement si les équations a 1x+b 1y+c 1z=d 1 et a 2x+b 2y+c 2z=d 2 sont proportionnelles si et seulement si les plans sont confondus. Sinon le système n'a pas de solution, les plans sont disjoints.
Fin de la démonstration

Figure

Sur la figure ci-dessous qui peut tourner, le plan vert Π 1 est le plan défini par les points A, B et C. Vous pouvez le faire varier. Le plan rose Π 2 est le plan passant par M (variable) parallèle à Π 1. Faites varier la figure et observez les équations des plans.


Exercice

Equation d'un plan parallèle à un autre donné et passant par un point donné

II-5-2 Plans non parallèles

Soient Π 1 et Π 2 d'équations respectives a 1x+b 1y+c 1z=d 1 et a 2x+b 2y+c 2z=d 2. Alors les points de l'intersection de Π 1 et Π 2 sont les solutions du système
{a 1x + b 1y + c 1z = d 1 a 2x + b 2y + c 2z = d 2
Si les plans ne sont pas parallèles, lors de l'échelonnement de ce système, on obtient toujours deux équations à premier membre non nul et il reste un seul degré de liberté, l'intersection est une droite. Lors de la résolution complète, on reconnaîtra la représentation paramétrique(voir ici ) d'une droite dans l'espace. Précisons cela sur des exemples.

Exemple

Après remplacement de la deuxième ligne L 2 par L 22L 1, le système
{x + 2y = 3 2x + 4y + z = 8s
est équivalent à
{x + 2y = 3 z = 2
Il donne deux contraintes pour 3 inconnues, on pose y=t et l'ensemble des solutions est {(32t,t,2),t}.
Interprétons géométriquement ce résultat : l'intersection de Π 1 et Π 2 d'équations respectives x+2y=3 et 2x+4y+z=8 est l'ensemble des points M de coordonnées (x,y,z) vérifiant
{x = 3 2t y = t z = 2
Notons B le point de coordonnées (3,0,2) et u le vecteur de composantes (2,1,1). L'ensemble Π 1Π 2 est l'ensemble des points M de l'espace tels que BM=tu. Cet ensemble est la droite passant par B et dirigé par u.

Exemple

Le système
{ 2y + 2z = 4 x + 3z = 5
est déjà échelonné. Il donne deux contraintes pour 3 inconnues, on pose z=s et l'ensemble des solutions est {(53s,2+s,s),t}.
Interprétons géométriquement ce résultat : l'intersection de Π 1 et Π 2 d'équations respectives 2y+2z=4 et x+3z=5 est l'ensemble des points M de coordonnées (x,y,z) vérifiant
{x = 5 3s y = 2 + s z = s
Notons C le point de coordonnées (5,2,0) et w le vecteur de composantes (3,1,1). L'ensemble Π 1Π 2 est l'ensemble des points M de l'espace tels que CM=sv. Cet ensemble est la droite passant par C et dirigé par w.

Exercice

Intersection de deux plans non parallèles

II-5-3 Figure pour deux plans non parallèles


Sur la figure suivante qui peut tourner, le plan vert Π 1 est le plan défini par les points A, B et M 1. Le plan rose Π 2 est le plan passant par A, B et M 2. L'intersection des deux plans qui sont en général disjoints est en général la droite (AB). Les plans peuvent-ils être confondus ?


II-5-4 Intersection de deux plans dans l'espace

III Droites dans l'espace

Droites et plans (géométrie analytique) → III Droites dans l'espace

III-1 Représentation paramétrique

Droites et plans (géométrie analytique)III Droites dans l'espace → III-1 Représentation paramétrique
Soit A un point de l'espace et w un vecteur non nul, la droite Δ passant par A et dirigée par w est l'ensemble de point M de tels que AM soit colinéaire à w. On peut donc poser la définition suivante.

Définition

Soit A un point du plan de coordonnées (x A,y A,z A) et un vecteur w non nul de composantes (α,β,γ). On appelle le système d'équations linéaires
( Δ){x = x A+tα y = y A+tβ z = z A+tγ
une représentation paramétrique (de paramètre t) de la droite Δ passant par A et dirigée par w.
Un point M(x,y,z) appartient à Δ si et seulement si le système ( Δ) a une solution en t pour (x,y,z).

Exercice


Représentation paramétrique d'une droite donnée géométriquement.
Droites et plans (géométrie analytique)III Droites dans l'espace → III-1 Représentation paramétrique

III-2 Système d'équations cartésiennes

Droites et plans (géométrie analytique)III Droites dans l'espace → III-2 Système d'équations cartésiennes

III-2-1 Conditions de compatibilité de ( Δ)

Reprenons les notations précédentes et voyons à quelles conditions sur (x,y,z) le système ( Δ) d'inconnue t
{x = x A+tα y = y A+tβ z = z A+tγ
admet une solution, c'est-à-dire à quelles conditions un point M de coordonnées (x,y,z) appartient à Δ.
Comme w n'est pas nul, l'un au moins des réels α, β et γ n'est pas nul. Supposons que c'est α.
  • [ cas β=γ=0 ]
    Dans ce cas, les conditions de compatibilité sont y=y A et z=z A et on a : t=xx Aα. La droite Δ est intersection de deux plans parallèles aux plans de coordonnées. Un système d'équations cartésiennes de Δ est
    {y = y A z = z A
  • [ cas β0 et γ=0 ]
    Dans ce cas, une condition de compatibilité est z=z A. L'autre est celle (déjà vue ici ) du système
    {x = x A+tα y = y A+tβ
    soit β(xx A)α(yy A)=0. \ Un système d'équations cartésiennes de Δ est alors
    {β(xx A)α(yy A) = 0 z = z A
    La droite est intersection de deux plans. On calcule t=xx Aα.
  • [ cas β0 et γ0 ]
    L'échelonnement du système
    {tα = xx A tβ = yy A tγ = zz A
    permet d'obtenir le système équivalent suivant :
    {tα = xx A 0 = α(yy A)β(xx A) 0 = α(zz A)γ(xx A)
    Le système a deux conditions de compatibilité qui forment un système d'équations cartésiennes de Δ. Si M appartient à ces deux plans d'équations α(yy A)β(xx A)=0 et α(zz A)γ(xx A)=0, il appartient à Δ en effet on a : AM=tw pour la valeur t=xx Aα.

Proposition

Soit Δ une droite dont une représentation paramétrique de paramètre t est le système ( Δ). Alors les deux conditions de compatibilité de ( Δ) forment un système d'équations cartésiennes de Δ.
Donner un système d'équations cartésiennes de Δ, c'est considérer Δ comme intersection de deux plans.

III-2-2 Exemple et exercice

Exemple

Soit la droite 𝒟 de représentation paramétrique de paramètre t
( 𝒟){x = 5 3t y = 2 + t z = t
Comme système en t, ( 𝒟) s'écrit :
{3t = 5 x t = 2 y t = z
système équivalent par échange des équations et échelonnement à :
{t = z 0 = zy2 0 = 5x3z
Un point M de coordonnées (x,y,z) appartient à la droite 𝒟 si et seulement si ( 𝒟) admet une solution t si et seulement si M vérifie
(𝒮 1){zy = 2 x+3z = 5
Le système (𝒮 1) est donc un système d'équations cartésiennes de 𝒟. La droite 𝒟 est alors l'intersection des deux plans d'équations respectives zy=2 et x+3z=5.

Exercice


Système d'équations cartésiennes d'une droite

III-2-3 Intersection de plans

Précédemment, nous avons vu que les conditions de compatibilité d'une représentation paramétrique de Δ sont les équations cartésiennes de deux plans d'intersection Δ. Nous proposons ici une méthode géométrique pour écrire une droite comme intersection de deux plans.
Soit A un point de l'espace et w un vecteur non nul et Δ la droite passant par A et dirigée par w. Considérons u un des vecteurs du repère qui ne soit pas colinéaire à w et nommons Π 1 le plan passant par A et dirigé par u et w. Le plan Π 1 contient Δ.
Considérons v un des vecteurs du repère qui ne soit pas dans Π 1. C'est possible car le repère ne peut pas s'aplatir sur le plan. Nommons Π 2 le plan passant par A et dirigé par v et w (qui ne sont pas colinéaires). La droite Δ est contenue dans Π 1 et Π 2 qui ne sont pas parallèles donc Δ est l'intersection des plans Π 1 et Π 2.

Exemple

Dans l'exemple vu ici , les deux plans d'équations respectives 2y+2z=4 et x+3z=5 ont pour intersection la droite 𝒟 passant par le point C de coordonnées (5,2,0) et dirigée le vecteur w de composantes (3,1,1). Nous avions exhibé une représentation paramétrique de 𝒟 en résolvant de système formé par les deux équations de plan :
{x = 5 3s y = 2 + s z = s
Les conditions de compatibilité de ce système déjà vues ici nous permettent de considérer 𝒟 comme l'intersection des plans d'équations respectives zy=2 et x+3z=5.
En utilisant la méthode géométrique, on peut choisir u=i et v=k, 𝒟 peut être vue comme l'intersection du plan passant par C et dirigé par i et w (une équation de ce plan est yz=2) et du plan passant par C et dirigé par k et w (une équation de ce plan est x+3y=1).

Remarque

Evidemment, une droite a une infinité de système d'équations cartésiennes tous équivalents. Dans l'exemple, on peut obtenir l'équivalence des systèmes d'équations cartésiennes de 𝒟
(𝒮 1){zy = 2 x+3z = 5et(𝒮 2){yz = 2 x+3y = 1
en remplaçant la première ligne L 1 de (𝒮 1) par son opposé et la ligne L 2 par L 23L 1.

III-3 Position relative d'une droite et d'un plan

Droites et plans (géométrie analytique)III Droites dans l'espace → III-3 Position relative d'une droite et d'un plan

III-4 Position relative de deux droites

Droites et plans (géométrie analytique)III Droites dans l'espace → III-4 Position relative de deux droites

III-4-1 Proposition

Proposition

Soit Δ 1 et Δ 2 deux droites de l'espace .
Si Δ 1 et Δ 2 ont même direction, elles sont strictement parallèles ou confondues.
Si Δ 1 et Δ 2 n'ont pas même direction, deux cas peuvent se présenter :
  • elles sont sécantes, c'est-à-dire que leur intersection est réduite à un point.
  • elles sont disjointes alors elles sont non coplanaires, c'est-à-dire qu'il existe aucun plan qui les contienne toutes les deux.

Démonstration
Si Δ 1 et Δ 2 sont coplanaires, on a vu qu'elles étaient sécantes ou parallèles.
Réciproquement, supposons que Δ 1 (respectivement Δ 2) est la droite passant par A 1 (resp. A 2) et dirigée par u 1 (resp. u 2). Si elles sont sécantes en un unique point B, elles sont contenues dans le plan passant par B et dirigé par (u 1,u 2). Si elles sont parallèles et distinctes, elles sont contenues dans le plan passant par A 1 et dirigé par (u 1,A 1A 2).
Fin de la démonstration

Exercices


Position relative de deux droites données par représentation paramétrique.
Position relative de deux droites données par un point et un vecteur directeur

III-4-2 Figure dans un prisme

Figure

Le polyèdre de la figure est un prisme dont la base est un parallélogramme ABCD. On nomme Pi le plan de ce parallélogramme.
  • Dans le plan Pi, les droites (AB) et (BC) sont sécantes en B,
  • Dans le plan Pi, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
  • La droite (BC) est parallèle à Pi.
  • La droite (BC) est parallèle à Pi.
  • La droite (BB) rencontre Pi en B.
  • Les droites (AB) et (BC) ne sont pas coplanaires.

III-4-3 Exercices dans un cube

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