Longueur et intégrale curviligne

Objectifs

Documents

  1. F. Liret et D. Martinais, Mathématiques pour le DEUG, Analyse 2ième Année (Dunod).
  2. J. Stewart, Analyse, concepts et contextes, vol. 2, DeBoeck Université (2001)

Guide

Longueur d'une courbe paramétrée

Longueur d'une courbe paramétrée

Exemple du segment

Exemple

La longueur d'un segment paramétré par x=x i+ta i, y=y i+tb i pour tI=[t i,t i+1] est égale à
t i+1t i.v i=t i+1t i.(a i 2+b i 2) 1/2)
v i est le vecteur (a i,b i). Le vecteur v i est aussi le vecteur dérivé de la fonction t (x i+ta i,y i+tb i). Ainsi, la longueur du segment s'écrit aussi
Iv(t)dt
v(t) est le vecteur dérivé de la paramétrisation choisie du segment en t.

En général

Soit C=γ:I 2 une courbe paramétrée : {x=f(t) y=g(t) , pour t[a,b]. Prenons une subdivision de l'intervalle [ a,b] en n parties :
a=t 0<t 1<...<t n1<t n=b.
Soit γ t 0,...,t n la ligne polygonale passant par les points P i=γ(t i)=(f(t i),g(t i)) de la courbe C et notons L n=L(γ t 0,...,t n) la longueur de cette courbe.

Définition

On appelle longueur de la courbe C la borne supérieure (C) si elle existe des longueurs L n des lignes polygonales inscrites γ t 0,...,t n.
Dessin . . . . . .
Dans le dessin,
  1. le paramètre t parcourt la ligne verte qui est subdivisée en parties (2, 3 ou 4). Il est lié par un fil vert pointillé au point vert γ(t) de la courbe.
  2. La ligne polygonale est tracée en rouge et la courbe en bleu.
Exemple
Une courbe et plusieurs paramétrages

Exemple

Vous pouvez choisir le nombre de subdivisions (mais pas la courbe !)
. .
Dans le dessin,
  1. le paramètre t parcourt la ligne verte qui est subdivisée en 4 parties. Il est lié par un fil vert pointillé au point vert γ(t) de la courbe.
  2. La ligne polygonale est tracée en rouge et la courbe en bleu.
Remarquer que
  • dans certains cas, cette ligne se confond presque avec la courbe;
  • dans d'autres cas, la courbe est en fait parcourue plusieurs fois;
  • que dans certains cas, la ligne polygonale est très éloignée de la courbe.
La ligne polygonale construite à partir de n points dépend non seulement de la courbe mais aussi du paramétrage. Voici encore quelques dessins pour s'en convaincre.

Une courbe et plusieurs paramétrages



Ici, ont été tracées des courbes paramétrées de paramètres t, t 1, t 2, t 3 dont la représentation graphique est la même mais avec des paramétrages différents.
. . . . .
Les changements de paramétrage sont donnés en fonction du premier par t 1=5t+14t+1, t 2=3t21t, t 3=2arctan(t),

Propriétés simples de la longueur

Formule pour la longueur

Proposition

Si γ:[a,b] 2 est une courbe C 1, sa longueur existe et on a
L(γ)= a bγ(t)dt
ou en notant v=γ le vecteur vitesse,
L(γ)= a bv(t)dt.

Exercices

Démonstration

Formule pour la longueur

Proposition

Si γ:[a,b] 2 est une courbe C 1, sa longueur existe et on a
L(γ)= a bγ(t)dt
ou en notant v=γ le vecteur vitesse,
L(γ)= a bv(t)dt.

Exercices

  • Chemin en montagne
  • Longueur et projection
Redémontrons analytiquement l'inégalité
L(γ t 0,...t n) a bγ(t)dt.
Preuve
On a
γ(t i)γ(t i1)= t i1 t iγ(t)dt.
Donc, par l'inégalité triangulaire,
γ(t i)γ(t i1) t i1 t iγ(t)dt
Le premier terme est la longueur du segment P iP i+1, en faisant la somme sur i, on obtient
L(γ t 0,...t n) a bγ(t)dt.

En particulier, l'ensemble des longueurs de lignes polygonales inscrites est un ensemble borné dont un majorant est a bγ(t)dt.
La longueur existe à cause de la propriété fondamentale des réels:

Théorème

Toute partie majorée non vide de admet une borne supérieure.
Pour t[a,b], soit γ t la restriction de γ à [a,t]. Notons L(t) la longueur de γ t. Nous allons montrer que L est dérivable et de dérivée γ(t), ce qui prouvera la proposition.

Proposition

Si γ:[a,b] 2 est une courbe C 1, sa longueur existe et on a
L(γ)= a bγ(t)dt
ou en notant v=γ le vecteur vitesse,
L(γ)= a bv(t)dt.

Exercices

  • Chemin en montagne
  • Longueur et projection

Preuve
Si M t et M t+h sont les points γ(t) et γ(t+h), L(t+h)L(t) est la longueur de l'arc qui joint M t et M t+h. On a alors un encadrement de cette longueur
M tM t+hh=γ(t+h)γ(t)hL(t+h)L(t)h1h t t+hγ(u)du.
Comme les deux membres extrêmes ont pour limite ||gamma'(t)|| quand h tend vers 0, on obtient bien que L est dérivable et de dérivée γ(t).

Calculs en coordonnées polaires

Soit une courbe γ donnée en coordonnées polaires r,θ par r=f(θ) pour θ[θ 0,θ 1]. En prenant θ comme paramètre, un paramétrage de γ est donnée par
{x= f(θ)cos(θ) y= f(θ)sin(θ)
Le vecteur dérivé s'exprime dans la base orthonormée directe u r=(cos(θ),sin(θ)), u θ=(sin(θ),cos(θ))
v(θ)=f(θ)u r+f(θ)u θ,
sa norme vaut f(θ) 2+f(θ) 2 et on obtient la formule
L(γ)= θ 0 θ 1f(θ) 2+f(θ) 2dθ
ou encore
L(γ)= θ 0 θ 1(drdθ) 2+r 2dθ.

Exercices

Abscisse curviligne

Définition

Un paramétrage d'une courbe est une abscisse curviligne si le vecteur vitesse relatif à cette paramétrisation est unitaire.
Ainsi, la courbe est paramétrée par un paramètre s, d'équations {x =f(s) y =g(s) et on a f(s) 2+g(s) 2=1.
On dit alors que la courbe est paramétrée par son abscisse curviligne.
L'abscisse curviligne est aussi, à une constante près et au signe près, la longueur de la courbe d'un point fixé au point de paramètre s :

Propriété

Si s est une abscisse curviligne de la courbe paramétrée, la longueur de l'arc de courbe comprise entre le point de paramètre s et le point de paramètre s 0 est égale à la valeur absolue de ss 0.
On doit donc avoir :
s= a tγ(u)du+s 0.
Exemple du cercle

Exemple

La mesure de l'angle au centre sur un cercle (en radian) est une abscisse curviligne du cercle. Cela signifie que la longueur de l'arc de cercle de rayon 1 correspondant à un angle u en radians est exactement u :
Par contre, le paramétrage du cercle donné par {x= 2t/(1+t 2) y= (1t 2)/(1+t 2) n'est pas une abscisse curviligne du cercle. La norme du vecteur dérivé est égale à 21+t 2. La longueur de l'arc de cercle compris entre les points de paramètre 0 et a est donnée par la formule atan(a).

Intégrale curviligne d'une fonction

On partage l'intervalle [a,b] en n parties égales a=t 0<...<t n=b, soit P i=(x i,y i)=(f(t i),g(t i)) le point de paramètre t i et on note Δs i la longueur du segment P i1P i.

Définition

Soit C une courbe paramétrée et F une fonction définie sur C. L'intégrale curviligne de F le long de C est la limite si elle existe des
i nF(x i,y i)Δs i= i nF(P i)Δs i
lorsque n.
On la note alors
CFds=lim i nF(P i)Δs i.
On démontre comme pour la longueur le théorème suivant :

Théorème

Si F est une fonction continue, la limite précédente existe et vaut
CFds= a bF(f(t),g(t))f(t) 2+g(t) 2dt.

Exercices

Utilisation en physique

L'interprétation physiques de l'intégrale curviligne d'une fonction le long d'une courbe dépend de l'interprétation de cette fonction. Voici quelques exemples :

Masse et centre de masse, moments d'inertie

Supposons qu'un fil suive une courbe C et que la fonction d(x,y) en un point (x,y,z) de C représente sa densité linéique. Si
{x= x(t) y= y(t)t[a,b]
sont des équations paramétriques de la courbe C qui définisse une injection de [a,b] sur C, alors la masse totale du fil est donnée par
Cd(x,y)ds= a bd(x(t),y(t))x(t) 2+y(t) 2dt
Le centre de masse (centre de gravité) se trouve au point G de coordonnées (x G,y G) avec
x G= CxF(x,y)ds= a bx(t)d(x(t),y(t))x(t) 2+y(t) 2dt
y G= CyF(x,y)ds= a by(t)d(x(t),y(t))x(t) 2+y(t) 2dt
Les moments d'inertie d'un fil s'expriment donc comme l'intégrale curviligne d'une fonction le long d'une courbe.

Exercices

Optique

Considérons un rayon lumineux dans un milieu ayant un indice de réfraction n(x,y) en un point (x,y). Soit v(x,y) la vitesse (absolue) de la lumière au point (x,y) (c'est-à-dire la norme du vecteur vitesse). Si c est la vitesse de la lumière dans le vide, on a la relation
n(x,y)=cv(x,y).
On suppose que le rayon lumineux va de A à B en suivant une courbe C AB. Le temps que mettrait la lumière pour aller d'un point A à un point B en suivant la courbe C est donné par
T(C AB)= C AB1v(x,y)ds
s est un paramétrage de C par son abscisse curviligne sur C.
On appelle chemin optique la distance qu'aurait parcouru, pendant la même durée, le rayon lumineux s'il se propageait dans le vide : le chemin optique le long de C AB est donc donné par la formule
C ABn(x,y)ds
Ce chemin optique de même que le temps dépend du chemin pris par la lumière. Bien sûr, la lumière à moins qu'on ne l'y oblige ne prend pas n'importe quel chemin. Le trajet effectivement suivi par un rayon lumineux entre deux points A et B est la courbe C AB pour laquelle le chemin optique est extrémal parmi toutes les courbes allant de A à B.
On doit donc résoudre un problème d'extrémum sur l'espace de tous les chemins allant de A à B.

Exemple

Si n(x,y) est constant égal à n, le chemin optique suivant la courbe C AB est égal à
n C ABds
et est proportionnel à la longueur de C AB. On sait que le chemin de A à B de longueur minimale est le segment allant de A à B.

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