OEF maths discrètes --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 80 exercices pour le cours de maths discrètes 2004-2005.

A Boîtes à lettres

Combien de façons différentes y a-t-il de mettre lettres distinctes dans boîtes à lettres numérotées ?

Algorithme d'Eudoxe précisé

, , Étape

Algorithme d'Eudoxe (C)

, , Étape

Calcul modulaire (C)

, , Étape

Devinette

On range un certain nombre de paires de chaussettes dans tiroirs.

Sachant qu'il n'y a pas deux tiroirs qui contiennent le même nombre de paires de chaussettes, et , quel est le nombre minimum de paires de chaussettes ?


D PC et périphériques

Il y a PC, graveurs et imprimantes, tous distincts. Combien de façons y a-t-il de connecter les graveurs et les imprimantes aux PC de manière à ce que chaque PC dispose d'un graveur et d'une imprimante ?

Décomposition (C)

, , Étape

Décomposition (R)

, , Étape

Exponentiation (C)

, , Étape

Exponentiation (R)

, , Étape

H Monôme 3

Combien y a-t-il d'entiers naturels de la forme où les exposants , , sont des entiers positifs ou nuls avec ?

Horner (C)

, , Étape

Horner (R)

, , Étape

Lampes d'hôtel

Un long couloir dans un hôtel est éclairé par lampes alignées. Pour économiser de l'énergie, l'hôtel éteint de ces lampes pendant la nuit.

Pour avoir un minimum d'éclairage, on ne peut pas éteindre des lampes adjacentes, ni les lampes aux extrémités du couloir. Dans ce cas, combien de façons différentes y a-t-il d'éteindre lampes ?


Logarithme entier

, , Étape

Multiplication (C)

, , Étape

Multiplication (R)

, , Étape

Salle informatique II

Une école a une salle informatique avec ordinateurs numérotés. Un groupe de élèves fait un cours dans cette salle. Combien de façons différentes y a-t-il pour répartir les élèves sur les ordinateurs pour que chaque ordinateur reçoive élèves ?

Partitions fixes

De combien de façons distinctes peut-on écrire

 ,

où les sont des entiers supérieurs ou égaux à  ?


Puissance de matrice (R)

, , Étape

Registres à décalage

, , Étape

=

Suites récurrentes (M)

, étape(s), Étape

Suites récurrentes (R)

, étape(s), Étape

Z Allocation de fréquences

On dispose de fréquences qu'on supposera indistinguables.
De combien de façons distinctes peut-on allouer ces fréquences aux "stations radio" et opérateurs de téléphone de manière que  ?

Anagramme avec cycles

Déterminez l'anagramme du mot

obtenu en utilisant la permutation

Déterminez le mot dont l'anagramme par la permutation


est

Anagramme avec liste

Déterminez l'anagramme du mot

obtenu en utilisant la permutation

Déterminez le mot dont l'anagramme par la permutation


est

Anagramme inverse avec cycles

Déterminez l'anagramme du mot

obtenu en utilisant la permutation

Déterminez le mot dont l'anagramme par la permutation


est

Anagramme inverse avec liste

Déterminez l'anagramme du mot

obtenu en utilisant la permutation

Déterminez le mot dont l'anagramme par la permutation


est

A Boîtes à lettres

Combien de façons différentes y a-t-il de mettre lettres distinctes dans boîtes à lettres numérotées ?

Fonction caractéristique (évaluation)

Soit la fonction caractéristique suivante.

.

On considère les sous-ensembles suivants de .

le sous-ensemble des multiples de ,
le sous-ensemble des multiples de ,
le sous-ensemble des multiples de ,
le sous-ensemble des multiples de .

Soit .

Est-ce que appartient au sous-ensemble dont la fonction caractéristique est  ?


Fonction caractéristique (forme normale)

Soit la fonction caractéristique suivante.

.

Donnez la forme normale de .


Fonction caractéristique

Soit la fonction caractéristique suivante.

.

Donnez la forme normale de .

On considère les sous-ensembles suivants de .

le sous-ensemble des multiples de ,
le sous-ensemble des multiples de ,
le sous-ensemble des multiples de ,
le sous-ensemble des multiples de .

Soit .

Est-ce que appartient au sous-ensemble dont la fonction caractéristique est  ?


Fonction caractéristique (identification

Soit la fonction caractéristique suivante.

.

Est-ce que c'est une fonction caractéristique ?


Fonction caractéristique (valeurs)

Soit la fonction caractéristique suivante.

.

Calculez pour tous les quadruplets .


Circuit logique : dessin -> fonction

Donnez la fonction caractéristique correspondant au circuit logique suivant.

x
y
z


Circuit logique : dessin -> table

Donnez la table de valeur pour le circuit logique suivant.

x
y
z


Circuit logique : dessin -> table II

Donnez la table de valeur pour le circuit logique suivant.

x
y
z
t


Circuit logique : fonction -> dessin

Complétez le circuit électronique par des portes logiques de sorte que sa fonction caractéristique soit

.

x
y
z

Circuit logique : table -> dessin

Complétez le circuit électronique par des portes logiques selon la table de valeur suivante.

x
y
z

Crible 1

Combien y a-t-il d'entiers compris entre 1 et , qui :

ne sont ni multiples de , ni multiples de ni multiples de  ?

sont multiples de mais pas de ni de  ?

sont multiples de et multiples de mais pas de  ?


Délire "allitératif" 1

Dans un petit village perdu dans les montagnes de l'Irian Jaya (pour ceux qui se demandent où cela se trouve, sachez que c'est en Nouvelle Guinée, quelque part entre l'Australie et l'Indonésie!) il y a habitants.

Parmi eux, il y a , , (avec un 'x'), papous papas, papas "a-poux", papous "a-poux".

Combien y a-t-il d'habitants qui ne sont ni papous, ni papas et pas "a-poux" ?


Délire "allitératif" 2

Dans un petit village perdu dans les montagnes de l'Irian Jaya (pour ceux qui se demandent où cela se trouve, sachez que c'est en Nouvelle Guinée, quelque part entre l'Australie et l'Indonésie!) il y a habitants.

Parmi eux, il y a , , (avec un 'x'), papous papas, papas "a-poux".

Combien y a-t-il d'habitants qui soient à la fois  ?

combien y a-t-il d'habitants qui soient à la fois pas papous, pas papas et pas "a-poux" ?


Délire "allitératif" 3

Dans un petit village perdu dans les montagnes de l'Irian Jaya (pour ceux qui se demandent où cela se trouve, sachez que c'est en Nouvelle Guinée, quelque part entre l'Australie et l'Indonésie!) il y a habitants.

Parmi eux, il y a , , (avec un 'x'), papous papas, papous "a-poux", papas "a-poux" et aucun papou papa "a-poux".

Combien y a-t-il d'habitants qui soient à la fois  ?

combien y a-t-il d'habitants qui soient à la fois pas papous, pas papas et pas "a-poux" ?


Délire "allitératif" 4

Dans un petit village perdu dans les montagnes de l'Irian Jaya (pour ceux qui se demandent où cela se trouve, sachez que c'est en Nouvelle Guinée, quelque part entre l'Australie et l'Indonésie!) il y a habitants.

Parmi eux, il y a , , (avec un 'x').

Sachant que aucun papou n'est papa, aucun papou n'a de poux et aucun papa n'a de poux,

combien y a-t-il d'habitants qui soient à la fois  ?

combien y a-t-il d'habitants qui soient à la fois pas papous, pas papas et pas "a-poux" ?


Délire "allitératif" 5

Dans un petit village perdu dans les montagnes de l'Irian Jaya (pour ceux qui se demandent où cela se trouve, sachez que c'est en Nouvelle Guinée, quelque part entre l'Australie et l'Indonésie!) il y a habitants.

Parmi eux, il y a , , (avec un 'x'), papous papas, papas "a-poux", papous "a-poux" et papous papas "a-poux".

Combien y a-t-il d'habitants qui ne sont ni papous, ni papas et pas "a-poux" ?


Délire "allitératif" 6

Dans un petit village perdu dans les montagnes de l'Irian Jaya (pour ceux qui se demandent où cela se trouve, sachez que c'est en Nouvelle Guinée, quelque part entre l'Australie et l'Indonésie!) il y a habitants.

Parmi eux, il y a , , (avec un 'x'), papous papas, papas "a-poux", papous "a-poux" et ni papous ni papas et pas "a-poux".

Combien y a-t-il d'habitants qui sont papous papas "a-poux" ?


Logarithme fibonaccien

On considère la << transition >> suivante :
		
Si >
() -> ()
Sinon
() -> STOP
Si () est le quadruplet initial, quelle est la dernière valeur de  ?


Z Allocation de fréquences

On dispose de fréquences qu'on supposera indistinguables.
De combien de façons distinctes peut-on allouer ces fréquences aux "stations radio" et opérateurs de téléphone de manière que  ?

Groupes d'élèves

De combien de façons distinctes peut-on diviser une classe de élèves en groupes de élèves chacun ?

Matrice triangulaire

On considère la << transition >> suivante :
		


Si = 0,
() -> (,,) STOP
Si () est le septuplet initial, quelle est le dernier triplet ?

H Monôme 3

Combien y a-t-il d'entiers naturels de la forme où les exposants , , sont des entiers positifs ou nuls avec ?

D PC et périphériques

Il y a PC, graveurs et imprimantes, tous distincts. Combien de façons y a-t-il de connecter les graveurs et les imprimantes aux PC de manière à ce que chaque PC dispose d'un graveur et d'une imprimante ?

Image 3 avec cycles

Soit la permutation

Donnez de l'ensemble {}.


Image 4 avec cycles

Soit la permutation

Donnez de l'ensemble {}.


Image 5 avec cycles

Soit la permutation

Donnez de l'ensemble {}.


Image 3 avec liste

Soit la permutation

Donnez de l'ensemble {}.


Image 4 avec liste

Soit la permutation

Donnez de l'ensemble {}.


Image 5 avec liste

Soit la permutation

Donnez de l'ensemble {}.


Image réciproque 3 avec cycles

Soit la permutation

Donnez de l'ensemble {}.


Image réciproque 4 avec cycles

Soit la permutation

Donnez de l'ensemble {}.


Image réciproque 5 avec cycles

Soit la permutation

Donnez de l'ensemble {}.


Image réciproque 3 avec liste

Soit la permutation

Donnez de l'ensemble {}.


Image réciproque 4 avec liste

Soit la permutation

Donnez de l'ensemble {}.


Image réciproque 5 avec liste

Soit la permutation

Donnez de l'ensemble {}.


Carré cycles vers cycles

Soit la permutation

.


Inverse cycles vers cycles

Soit la permutation

.


Cycles vers liste

Soit la permutation

.


Carré cycles vers liste

Soit la permutation

.


Inverse cycles vers liste

Soit la permutation

.


Liste vers cycles

Soit la permutation

.


Carré liste vers cycles

Soit la permutation

.


Inverse liste vers cycles

Soit la permutation

.


Carré liste vers liste

Soit la permutation

.


Inverse liste vers liste

Soit la permutation

.


Transpositions 4

Soit la permutation

.


Transpositions 5

Soit la permutation

.


Transpositions 6

Soit la permutation

.


Piles et permutations

Soit le mot suivant.

Ecrivez la permutation correspondante (voir l'aide) sous forme de liste.


Texte 1

Un petit dictionnaire contient mots spécialisés.

Parmi eux, contiennent la lettre "", contiennent la lettre "", contiennent la lettre "", contiennent la lettre "".

mots contienent au moins 2 de ces 4 lettres, mots contiennent au moins 3 de ces 4 lettres, mots contiennent toutes ces 4 lettres.

Combien de mots ne contiennent aucune des 4 lettres ?


Texte 2

Un petit dictionnaire contient mots spécialisés.

Parmi eux, contiennent la lettre "", contiennent la lettre "", contiennent la lettre "", contiennent la lettre "".

mots contienent au moins 2 de ces 4 lettres, mots contiennent au moins 3 de ces 4 lettres, mots contiennent aucune des 4 lettres.

Combien de mots contiennent toutes les 4 lettres ?


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