Les règles du jeu mathématique
Rédaction de A. HIRSCHOWITZ |
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Généralités sur le langage mathématique
Rédaction de A. HIRSCHOWITZ |
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Rédaction de A. HIRSCHOWITZ |
Les cours de Math |
Les Feuilles de TD (version papier) |
Les interrogations écrites de Math |
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On peut appréhender l'activité mathématique comme un sport.
Un sport intellectuel qui se pratique depuis plus de deux
mille ans, avec encore aujourd'hui des compétitions, notamment
pour les jeunes (Olympiades mathématiques).
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La pratique
Il y a beaucoup de façons assez différentes de fixer les règles
notamment selon qu'on veut ou non donner les mêmes droits à E et
à P. Par exemple lors de joutes entre joueurs de niveaux comparables
(deux élèves, ou deux professionnels), E et P ont les mêmes droits.
Tandis que lors des compétitions officielles, P ne joue pas vraiment,
il n'interagit pas avec E et n'intervient qu'après coup, sous forme
d'arbitre. Les relations entre étudiants et professeurs mélangent les
deux genres précédents. Au cours des séances d'exercices, l'étudiant
joue en position E et le professeur en position P, et si le professeur
est jeune (d'esprit) et dynamique, ils peuvent interagir. Pendant les
cours, c'est le professeur qui joue en position E; il prétend se
débrouiller "contre toute défense", et l'étudiant, piètre défenseur en
général, démissionne presque toujours de son rôle d'arbitre.
Le mépris du règlement
Le sport mathématique évolue constamment, notamment en se dotant de
règles de plus en plus précises pour faire face aux situations
litigieuses que la pratique met en évidence. Plus exactement,
la communauté des mathématiciens dispose en son sein d'une sorte de
commission d'arbitrage, constituée par les logiciens, qui s'occupe du
réglement. Mais l'idéologie dominante, mise en place notamment il y a
un demi-siècle par les Eléments de Mathématiques de Nicolas Bourbaki,
considère qu'il serait impraticable de respecter le réglement, et qu'il
faut donc se contenter d'en respecter l'esprit. On se retrouve de ce
fait en présence d'un sport où le réglement est très peu présent.
Les pratiquants (et les arbitres puisque, en mathématiques comme dans le
tennis amateur, l'arbitrage effectif est confié aux joueurs eux-mêmes)
apprennent à jouer en regardant faire les autres. Ils n'ont pour la
plupart aucune idée de la structure du réglement, qui n'est pas plus
affiché par l'Union Mathématique Internationale que par la toute-puissante
Société Mathématique Américaine.
Les pros
A dire vrai, au niveau professionnel, ça ne se passe pas trop mal.
C'est comme chez les chasseurs des Inconnus. Il y a les mauvais
mathématiciens: ce qu'ils disent ou écrivent n'a qu'un rapport lointain avec
le réglement, et on ne voit pas du tout ce qu'ils veulent dire, mais ce n'est
pas bien grave parce que de toute façon, ce n'est pas très intéressant.
Et à côté de ça, il y a les bons mathématiciens: ce qu'ils disent ou écrivent
n'a pas grand rapport avec le réglement mais ce qu'ils disent est intéressant,
et au prix d'un effort plus ou moins important, on arrive à comprendre
l'essentiel de ce qu'ils veulent dire (pour un cas un peu extrème,
voir Kepler). Les litiges, s'ils ne sont pas rares, restent cantonnés au
niveau individuel: un mathématicien diffuse ce qu'il prétend être la preuve
d'un théorème, il se fait casser par l'arbitre et crie au scandale dans
l'indifférence générale.
Les amateurs
C'est au niveau amateur, c'est-à-dire dans l'enseignement, qu'il y a du
dégât. L'absence de standard, autrement dit de contrat clair, contribue
inévitablement à l'incompréhension et au rejet entre les profs de maths et
une fraction de leurs élèves. Elle ouvre également la voie à de déplorables
déviations intégristes.
Mathématiques et bons sens
Souvent les élèves ressentent plus que leurs professeurs le besoin de règles
du jeu. Ils demandent "Est-ce que j'ai le droit d'élever au carré?" ou bien
"Est-ce que je peux simplifier par m?". Et trop souvent, le professeur
répond que ce n'est pas une affaire de droit, mais une affaire de bon sens:
selon lui, l'élève n'aurait qu'à réfléchir pour trouver la réponse à sa
question. Il insinue qu'il n'y a qu'une seule façon d'être logique,
rationnel et que chacun peut retrouver cette façon d'être en son for
intérieur. La réalité est bien différente. Il y a une grande variété de
logiques dans lesquelles on peut raisonner efficacement. Bien entendu,
les différences entre ces logiques sont subtiles mais elles affectent le
sens de mots aussi fondamentaux que "et", "ou", "si", "non" et bien sûr
"vrai" et "faux". Dans le même ordre d'idées, les conventions jouent un rôle
essentiel en mathématiques: au lieu de
croire que 1/0 "n'existe pas", il vaut mieux constater qu' on n'a fait
jusqu'ici aucune convention donnant un sens à 1/0. Le cas de $0^0$ est
peut-être plus exemplaire puisqu'on peut trouver des gens raisonnables pour
préférer la convention $0^0=0$ et d'autres prônant $0^0=1$. Et la question
n'est pas de savoir lesquels ont raison mais plutôt quels sont les avantages
et inconvénients respectifs des deux conventions.
Mathématiques formelles et mathématiques informelles
Au siècle dernier, la découverte de paradoxes a posé aux mathématiciens la
question dérangeante de la pertinence de leur activité favorite. La réponse
qu'ils ont préféré considérer comme satisfaisante est la suivante.
On dispose d'une notion de mathématiques formelles, avec des règles
ultra-précises, sur lesquelles on compte pour exclure tout paradoxe;
moyennant quoi on fait des mathématiques informelles comme avant, en
acceptant comme "preuve informelle" tout texte dont la lecture donne
à penser qu'il existe une preuve formelle de l'énoncé concerné.
Ce point de vue est magistralement exposé dans l'introduction du Cours d'Algèbre de Roger Godement, qui date des années soixante. On y donne délibérément une définition impraticable des mathématiques formelles en y interdisant les abréviations (autrement dit les définitions) et les trous (comme si on ne pouvait pas faire des preuves formelles incomplètes).
Mathématiques et programmation, preuves et calculs
C'est aussi au siècle dernier qu'ont été inventés les premiers langages
formels de calcul, comme la machine de Turing ou le lambda-calcul de Church,
qui étaient très théoriques et dramatiquement impraticables. Aucune autorité
morale n'ayant décrété qu'un langage formel de calcul devait rester
impraticable, ces langages initiaux ont tout naturellement ouvert la voie
à des générations de langages de programmation ou de calcul formel de plus
en plus intelligents et de plus en plus conviviaux.
Il faut s'attendre à observer un développement analogue des langages formels de preuve, avec l'apparition progressive de logiciels de plus en plus conviviaux et de plus en plus performants pour faire des mathématiques. D'ailleurs de tels logiciels existent déjà depuis longtemps, même s'ils ne sont pas encore assez performants pour que les mathématiciens professionnels y trouvent leur compte, ni assez conviviaux pour que les amateurs puissent s'en servir.
Le réglement? Quel réglement?
On a déjà compris qu'il n'y a pas qu'un seul réglement possible. La plupart
des pros capables de citer le réglement auquel ils se réfèrent citeront le
seul dont ils ont entendu parler, ZFC (le C fait référence à l'axiome dit
du choix, qu'on ajoute aux règles proposées au début du siècle dernier par
Zermelo et Frankel). C'est un réglement non interactif, où P se contente
d'arbitrer. Comme on a dit plus haut, il est introuvable et gravement
impraticable. Par ailleurs, on a déjà mentionné l'existence de plusieurs
logiciels de preuve, disposant chacun d'un réglement complet et totalement
praticable. On adopte ici un réglement largement inspiré dans sa forme par
celui du logiciel Coq, et totalement compatible avec ZFC quant au fond.
Formules et objets mathématiques
Quand on fait des maths, on veut manipuler des objets dits mathématiques. En
réalité on manipule des formules. On dit parfois que ces formules représentent
les objets en question. En fait on peut très bien se dispenser de comprendre
cette phrase. Ce qui est important, c'est l'égalité entre formules, et le fait
que deux formules différentes, comme
et
, peuvent être égales. Si
on veut, on peut dire que deux formules représentent le même objet précisément
quand elles sont égales.
Comme exemples de formules, on a , , , . Ces formules peuvent être traduites en langue plus naturelle où elles deviennent par exemple zéro, le plan réel (standard?), le double de la fonction sinus, la fonction est croissante (au sens large?).
Syntaxe Il est infiniment plus facile d'expliquer les règles d'écriture pour les formules mathématiques que leurs contreparties en langue naturelle. Et c'est pareil pour les règles concernant la manipulation de ces formules. Ces règles d'écriture sont quand même trop complexes pour qu'on puisse en dresser, là tout de suite, la liste définitive. En fait, ces règles s'apparentent aux règles de grammaire et d'orthographe de nos langues naturelles. La principale différence, c'est que les langues naturelles existent avant les règles qui sont censées les décrire, alors que les langages formels sont définis par des jeux de règles. Et bien sûr, ceux qui inventent les langages formels choisissent des jeux de règles aussi simples que possible.
Langages formels
Dans un langage formel, on distingue volontiers l'alphabet, dont les éléments
sont les caractères, les mots qui sont des assemblages de caractères, et les
phrases, qui sont des assemblages de mots. De ce point de vue, nos formules
sont des phrases.
La syntaxe est la branche de la théorie des langages qui s'occupe de classifier les langages. La syntaxe s'occupe en particulier de proposer différentes façons de formuler ou décrire les langages. Par exemple, c'est la syntaxe qui s'intéresse, entre bien d'autres choses, aux questions de parenthésage et de priorités. Ou peut-être vaut-il mieux dire que la syntaxe s'occupe de donner leur juste place à ces questions. La syntaxe met à disposition des moyens d'expression performants pour formuler les règles de grammaire concernant le langage mathématique. Plutôt que d' exploiter cette machinerie qui nous infligerait une couche de formalisme supplémentaire, nous allons gérer les questions de syntaxe informellement, au coup par coup. Ce choix correspond au fait que les fautes de syntaxe sont bien plus faciles à éliminer que les fautes concernant le typage et le sens, au dépistage desquelles nous accorderons plus de soin.
Dans le langage mathématique, on distingue quatre sortes de choses: objets, ensembles, énoncés et preuves. Dans un premier temps, on commence par dire l'essentiel sur les ensembles.
Pour classer leurs objets selon leur nature, les physiciens parlent de dimension, les informaticiens parlent de types, et les mathématiciens parlent d'ensembles. Le s ensembles sont des objets particuliers. Nous connaissons l'ensemble et l'ensemble , tandis que nous ne percevons ni ni comme des ensembles (est-ce que ça se discute?). Dans la vision des mathématiques qu'on propose ici, tout objet a un type, qui est l'ensemble dont il fait partie "à la naissance". Par exemple est du type rée l, autrement dit est un élément de l'ensemble des réels. On abrège cet te affirmation en . Bien sûr, on peut aussi l'énoncer comme suit: est un nombre réel. Dans les cas litigieux, le joueur qui mentionne un objet doit, sur demande, être capable, sous peine de disqualification, d'indiquer le type qu'il attribue à cet objet, quitte ensuite, toujours sous peine de disqualification, à fournir les justifications.
Parmi les ensembles, il y en aussi un pour les ensembles, que nous appelons . On a donc . Cet ensemble n'est pas de même nature que ceux dont on a l 'habitude: on n'a pas . Cette affaire n'a pas grand rapport avec nos préo ccupations. Pour donner une idée de ce qui se passe, disons simplement qu'il faut v oir les ensembles que nous manipulons, par exemple , comme des petits ensemble s, alors que est un gros ensemble, et qu'il y a donc un ensemble des gros ensembles, qui est lui-même très gros... C'est à cause de ça que l'ensemble des ensembles est un peu tabou...
Parmi les ensembles, il y en a un autre tout-à-fait à part, que nous appelons , c'est l'ensemble des énoncés (on dit aussi propositions). Par exemple on a . Un énoncé n'est pas forcément vrai, ce qui est souvent déroutant pour les débutant s: par exemple on a . On a donc principalement deux sortes d'énoncés, les vrais et les faux, dans la mesure où un énoncé ne peut être que vrai ou faux. Du fait que l'erreur est humaine, il nous faut aussi parler des pseudo-énoncés, comme , qui ont un peu l'air d'être des énoncés, mais qui n'en sont pas. Le novice éprouve souvent des difficultés à faire la différence entre les pseudo-énoncés et les énoncés faux.
Les deux ensembles qu'on vient d'introduire sont nos gros ensembles. A l'opposé, n ous avons l'ensemble vide noté , qui n'a aucun élément, record absolu. Juste derrière, on peut fabriquer autant qu'on veut d'ensembles avec un seul éléme nt: il suffit de choisir le nom de cet élément. Si par exemple on choisit zéphyr ( pour éviter des problèmes qui ne nous intéressent pas, il vaut mieux choisir un mo t qui n'est pas en vigueur), l'ensemble correspondant est noté . On pe ut faire la même chose avec plusieurs noms (tous différents) au lieu d'un, qu'on sépare par des virg ules. Ainsi, un de nos ensembles favoris est auquel on donne le nom Bool (en hommage à son promoteur, Boole).
La différence entre Prop et Bool ne saute pas aux yeux et le débutant ne perdra rien à l'ignorer. Pour l'appréhender, il convient de se demander quelle discrimination on peut bien vouloir faire entre deux énoncés vrais. Par exemple prenons et . Ici, la différence à laquelle on est attaché est du type suivant: on peut appliquer à et obtenir , ce qu'on ne peut pas faire avec puisque n'est pas réel.
La connexion entre Prop et Bool est concrétisée par l'évaluation qui attribue une valeur de vérité ou ) à tout énoncé. Les deux énoncés qu'on a vus plus haut ont même évaluation sans pour autant être égaux.
"La relation signifie que les objets représentés par les symboles et sont les mêmes" écrit Dieudonné (fondements de l'analyse moderne). Cette pirouette magistrale épargne à son lecteur débutant des états d'âme stériles. La subtilité de ce sophisme consiste à laisser croire que la deuxième partie de la phrase définit la première alors que c'est plutôt l'inverse.
Nous utilisons une notion restreinte d'égalité, qui n'accepte de comparer deux objets que s'ils sont du même type. Nous avons donc une égalité pour chaque ensemble (en pratique, on n'écrit pas l'indice ).
Il nous faut maintenant expliquer comment on peut s'assurer que est vrai ou faux, et ce chaque fois qu'on introduit de nouveaux ensembles. Dans tous les cas, c'est-à-dire pour tout ensemble et tout élément de , on a bien sûr . C'est ce qu'on appelle la réflexivité de l'égalité.
On choisit de rien ajouter à la réflexivité pour le cas de nos gros ensembles Ens et Prop, où l'égalité ne nous intéresse pas vraiment. Et pour nos ensembles petits, comme , il n'y a rien à ajouter à la réflexivité.
Nous avons un peu besoin d'une opération sur les ensembles notée , et appe lée réunion_disjointe (pour éviter des problèmes qui ne nous intéressent pas, il vaut mieux choisir un nom en un seul mot). On a donc par exemple . Si et sont deux ensembles, les éléments de sont ceux de et ceux de (pour éviter des problèmes qui ne nous intéressent pas ici, il vaut mieux supposer que et n'ont pas d'élément commun, ce qui ser a le cas pour nos prochains exemples; pour dire juste un mot du cas délicat, on v eut par exemple que ait quatre éléments et non pas deux).
L'égalité dans est celle qu'on croit. Par exemple si et sont dans , ils sont égaux dans si et seulement s'ils le sont dans .
Parmi les ensembles, il y en a encore un qui est au centre de nos préoccupations, c'est l'ensemble dont les éléments sont les nombres réels. Il y a des gens q ui ont le temps et qui expliquent exactement en quoi ça consiste. Mais nous, on es t à la bourre et, ici comme ailleurs, on va se contenter de donner les règles util es. Pour traiter nos nombres réels, et notamment ce qui concerne l'infini et l'ind éfini, nous allons construire et utiliser des ensembles répondant à l'idée qu'on d evrait pouvoir ajouter l'infini, ou l'indéfini à notre ensemble des nombres réels. Le premier avatar est . On l'appelle , prononcez air-bar, et on l'appelle aussi la_droite_achevée. Le deuxième avatar est . Il a aussi deux noms: , prononcez air-chapeau, et la_droite_projective.
Nous avons donc déjà deux façons de construire des ensembles, avec et . Maintenant on fait une combinaison de ces deux constructions qu'on va utiliser au moins trois fois, qu'on appelle bottomisation et qu'on note (la notation est standard, mais le nom est local). Si E est un ensemble quelconque, désigne l'ensemble , obtenu en ajoutant à E l'unique élément bottom. Comme on a expliqué plus haut, il s'agit de laisser un peu de place érreur, le but étant évidemment de mieux éviter d'en faire. Nous avons donc trois avatars de plus pour , à savoir
Il y a un autre ensemble que nous visitons constamment, c'est celui des fonctions. Le sel (ou le pépin) avec les fonctions c'est que, très souvent, elles ne sont pas partout d'finies, et c'est bottom qui va nous tirer de ce mauvais pas. Notre ensemble favori pour les fonctions est . Pour dire la chose autrement, les fonctions dont nous nous occupons sont les éléments de . Ici on utilise une contruction d'ensembles déjà pratiquée en Terminale, notée . Son nom standard prête à confusion puisque c'est "exponentielle", c'est pourquoi nous ne l'utiliserons pas (exercice: calculer le nombre d'éléments de ).
Revenons à nos fonctions qui sont donc différentes de celles de Terminale, mais si peu. La principale différence est qu'au lieu de dire par exemple " n'existe pas, on dit désormais . En termes plus littéraires, est défini, mais mal défini.
Ce point de vue colle bien avec notre pratique des fonctions réelles: on les introduit par une formule et on parle de leur domaine de définition. Pour nous, le domaine de d'finition de f est l'ensemble des x (disons de ) où f(x) n'est pas (et on a très envie de dire "est défini" au lieu de n'est pas ; et on peut certainement dire "est bien défini").
Notre égalité des fonctions mérite d'être mentionnée: par exemple dans , f et g sont égales si et seulement si, pour tout x dans , f(x) et g(x) sont égales, autrement dit si f et g rendent partout la même valeur.
Il y a un dernier ensemble que nous visitons souvent, c'est celui des parties de que nous notons , parce qu'on noterait l'ensemble des parties de n'importe quel ensemble E. Par exemple nos intervalles familiers sont de telles parties. Toute partie (de par exemple) a sa propriété caractéristique qui est de type Bool. Par exemple la propri'eté caractéristique de est la fonction . L'égalité des parties est celle de leurs propriétés caractéristiques. Si x est un réel et P une partie de , on note x P la valeur en x de la propriété caractéristique de P, et on dit que x est ou n'est pas dans P selon que cette valeur est V ou F. Et les 'léments de P sont justement les x de qui vérifient x P. La distinction entre x P et x : P n'est pas trop indispensable, et la confusion entre ces deux formulations sera tolérée. La distinction est tout aussi subtile, mais peut-être plus naturelle, entre une partie et sa propriété caractéristique.
Feuille 1: | Les complexes |
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Feuille 2: | Inegalités |
Feuille 3: | Maximum et minimum |
Feuille 4: | Branches infinies |
Feuille 5: | Fonctions réciproques |
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Enoncé |
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Thème: Majorer, comparer
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Enoncé a Enoncé b Corrigé |
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Thème: Maximum
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Enoncé |
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Thème: Etudes de fonctions
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Enoncé Corrigé |
Novembre 2002 | Partiel | Corrigé |