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Les règles du jeu mathématique

Rédaction de A. HIRSCHOWITZ
Généralités sur le langage mathématique

Rédaction de A. HIRSCHOWITZ
Les ensembles
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Rédaction de A. HIRSCHOWITZ

Les cours de Math Les Feuilles de TD
(version papier)
Les interrogations écrites de Math

Les règles du jeu mathématiques

On peut appréhender l'activité mathématique comme un sport. Un sport intellectuel qui se pratique depuis plus de deux mille ans, avec encore aujourd'hui des compétitions, notamment pour les jeunes (Olympiades mathématiques).
Une partie réunit deux joueurs, appelons-les E et P, comme élève et professeur. Au début de la partie, E doit choisir entre deux énoncés opposés (l'un est le contraire de l'autre) que lui propose P. Tout au long de la partie, E va essayer de montrer que l'énoncé qu'il a choisi est vrai, tandis que P va essayer de montrer qu'il est faux, ou au moins de faire apparaître une faille dans la tentative de preuve de E. Tout au long de la partie, P et E vont faire évoluer l'énoncé initial selon des règles bien précises, l'énoncé courant représentant ce qu'il reste à prouver (pour E) ou à infirmer (pour P).

Généralité

Les ensembles

Ensembles et énoncés

Dans le langage mathématique, on distingue quatre sortes de choses: objets, ensembles, énoncés et preuves. Dans un premier temps, on commence par dire l'essentiel sur les ensembles.

Pour classer leurs objets selon leur nature, les physiciens parlent de dimension, les informaticiens parlent de types, et les mathématiciens parlent d'ensembles. Le s ensembles sont des objets particuliers. Nous connaissons l'ensemble et l'ensemble N, tandis que nous ne percevons ni 2 ni xsinx comme des ensembles (est-ce que ça se discute?). Dans la vision des mathématiques qu'on propose ici, tout objet a un type, qui est l'ensemble dont il fait partie "à la naissance". Par exemple π est du type rée l, autrement dit π est un élément de l'ensemble des réels. On abrège cet te affirmation en π:. Bien sûr, on peut aussi l'énoncer comme suit: π est un nombre réel. Dans les cas litigieux, le joueur qui mentionne un objet doit, sur demande, être capable, sous peine de disqualification, d'indiquer le type qu'il attribue à cet objet, quitte ensuite, toujours sous peine de disqualification, à fournir les justifications.

L'ensemble des ensembles

Parmi les ensembles, il y en aussi un pour les ensembles, que nous appelons Ens. On a donc :Ens. Cet ensemble n'est pas de même nature que ceux dont on a l 'habitude: on n'a pas Ens:Ens. Cette affaire n'a pas grand rapport avec nos préo ccupations. Pour donner une idée de ce qui se passe, disons simplement qu'il faut v oir les ensembles que nous manipulons, par exemple , comme des petits ensemble s, alors que Ens est un gros ensemble, et qu'il y a donc un ensemble Ens des gros ensembles, qui est lui-même très gros... C'est à cause de ça que l'ensemble des ensembles est un peu tabou...

L'ensemble des énoncés

Parmi les ensembles, il y en a un autre tout-à-fait à part, que nous appelons Prop, c'est l'ensemble des énoncés (on dit aussi propositions). Par exemple on a 2+2=4:Prop. Un énoncé n'est pas forcément vrai, ce qui est souvent déroutant pour les débutant s: par exemple on a 2+2<3:Prop. On a donc principalement deux sortes d'énoncés, les vrais et les faux, dans la mesure où un énoncé ne peut être que vrai ou faux. Du fait que l'erreur est humaine, il nous faut aussi parler des pseudo-énoncés, comme 10=1, qui ont un peu l'air d'être des énoncés, mais qui n'en sont pas. Le novice éprouve souvent des difficultés à faire la différence entre les pseudo-énoncés et les énoncés faux.

Des ensembles plus petits

Les deux ensembles qu'on vient d'introduire sont nos gros ensembles. A l'opposé, n ous avons l'ensemble vide noté emptyset, qui n'a aucun élément, record absolu. Juste derrière, on peut fabriquer autant qu'on veut d'ensembles avec un seul éléme nt: il suffit de choisir le nom de cet élément. Si par exemple on choisit zéphyr ( pour éviter des problèmes qui ne nous intéressent pas, il vaut mieux choisir un mo t qui n'est pas en vigueur), l'ensemble correspondant est noté {zUnknown characterphyr}. On pe ut faire la même chose avec plusieurs noms (tous différents) au lieu d'un, qu'on sépare par des virg ules. Ainsi, un de nos ensembles favoris est {V,F} auquel on donne le nom Bool (en hommage à son promoteur, Boole).

Prop et Bool

La différence entre Prop et Bool ne saute pas aux yeux et le débutant ne perdra rien à l'ignorer. Pour l'appréhender, il convient de se demander quelle discrimination on peut bien vouloir faire entre deux énoncés vrais. Par exemple prenons E=z:C,z=z et F=x:,x=x. Ici, la différence à laquelle on est attaché est du type suivant: on peut appliquer E à i et obtenir i=i, ce qu'on ne peut pas faire avec F puisque i n'est pas réel.

La connexion entre Prop et Bool est concrétisée par l'évaluation eval:ProprightarrowBool qui attribue une valeur de vérité V ou F) à tout énoncé. Les deux énoncés qu'on a vus plus haut ont même évaluation sans pour autant être égaux.

Quelle égalité?

"La relation x=y signifie que les objets représentés par les symboles x et y sont les mêmes" écrit Dieudonné (fondements de l'analyse moderne). Cette pirouette magistrale épargne à son lecteur débutant des états d'âme stériles. La subtilité de ce sophisme consiste à laisser croire que la deuxième partie de la phrase définit la première alors que c'est plutôt l'inverse.

Nous utilisons une notion restreinte d'égalité, qui n'accepte de comparer deux objets que s'ils sont du même type. Nous avons donc une égalité = E pour chaque ensemble E (en pratique, on n'écrit pas l'indice E).

Il nous faut maintenant expliquer comment on peut s'assurer que x=y est vrai ou faux, et ce chaque fois qu'on introduit de nouveaux ensembles. Dans tous les cas, c'est-à-dire pour tout ensemble E et tout élément x de E, on a bien sûr x=x. C'est ce qu'on appelle la réflexivité de l'égalité.

On choisit de rien ajouter à la réflexivité pour le cas de nos gros ensembles Ens et Prop, où l'égalité ne nous intéresse pas vraiment. Et pour nos ensembles petits, comme {or,mais,ou,et,donc,ni,car}, il n'y a rien à ajouter à la réflexivité.

La réunion disjointe

Nous avons un peu besoin d'une opération sur les ensembles notée ⨿, et appe lée réunion_disjointe (pour éviter des problèmes qui ne nous intéressent pas, il vaut mieux choisir un nom en un seul mot). On a donc par exemple ⨿Bool:Ens. Si A et B sont deux ensembles, les éléments de A⨿B sont ceux de A et ceux de B (pour éviter des problèmes qui ne nous intéressent pas ici, il vaut mieux supposer que A et B n'ont pas d'élément commun, ce qui ser a le cas pour nos prochains exemples; pour dire juste un mot du cas délicat, on v eut par exemple que Bool⨿Bool ait quatre éléments et non pas deux).

L'égalité dans A⨿B est celle qu'on croit. Par exemple si x et y sont dans B, ils sont égaux dans A⨿B si et seulement s'ils le sont dans B.

et ses avatars

Parmi les ensembles, il y en a encore un qui est au centre de nos préoccupations, c'est l'ensemble dont les éléments sont les nombres réels. Il y a des gens q ui ont le temps et qui expliquent exactement en quoi ça consiste. Mais nous, on es t à la bourre et, ici comme ailleurs, on va se contenter de donner les règles util es. Pour traiter nos nombres réels, et notamment ce qui concerne l'infini et l'ind éfini, nous allons construire et utiliser des ensembles répondant à l'idée qu'on d evrait pouvoir ajouter l'infini, ou l'indéfini à notre ensemble des nombres réels. Le premier avatar est ⨿{,+}. On l'appelle ¯, prononcez air-bar, et on l'appelle aussi la_droite_achevée. Le deuxième avatar est ⨿{}. Il a aussi deux noms: ^, prononcez air-chapeau, et la_droite_projective.

La bottomisation

Nous avons donc déjà deux façons de construire des ensembles, avec {Unknown character } et . Maintenant on fait une combinaison de ces deux constructions qu'on va utiliser au moins trois fois, qu'on appelle bottomisation et qu'on note (la notation est standard, mais le nom est local). Si E est un ensemble quelconque, désigne l'ensemble , obtenu en ajoutant à E l'unique élément bottom. Comme on a expliqué plus haut, il s'agit de laisser un peu de place érreur, le but étant évidemment de mieux éviter d'en faire. Nous avons donc trois avatars de plus pour RR, à savoir

Les fonctions

Il y a un autre ensemble que nous visitons constamment, c'est celui des fonctions. Le sel (ou le pépin) avec les fonctions c'est que, très souvent, elles ne sont pas partout d'finies, et c'est bottom qui va nous tirer de ce mauvais pas. Notre ensemble favori pour les fonctions est . Pour dire la chose autrement, les fonctions dont nous nous occupons sont les éléments de . Ici on utilise une contruction d'ensembles déjà pratiquée en Terminale, notée . Son nom standard prête à confusion puisque c'est "exponentielle", c'est pourquoi nous ne l'utiliserons pas (exercice: calculer le nombre d'éléments de ).

Revenons à nos fonctions qui sont donc différentes de celles de Terminale, mais si peu. La principale différence est qu'au lieu de dire par exemple " n'existe pas, on dit désormais . En termes plus littéraires, est défini, mais mal défini.

Ce point de vue colle bien avec notre pratique des fonctions réelles: on les introduit par une formule et on parle de leur domaine de définition. Pour nous, le domaine de d'finition de f est l'ensemble des x (disons de RR) où f(x) n'est pas (et on a très envie de dire "est défini" au lieu de n'est pas ; et on peut certainement dire "est bien défini").

Notre égalité des fonctions mérite d'être mentionnée: par exemple dans , f et g sont égales si et seulement si, pour tout x dans , f(x) et g(x) sont égales, autrement dit si f et g rendent partout la même valeur.

Les parties et l'appartenance

Il y a un dernier ensemble que nous visitons souvent, c'est celui des parties de RR que nous notons , parce qu'on noterait l'ensemble des parties de n'importe quel ensemble E. Par exemple nos intervalles familiers sont de telles parties. Toute partie (de RR par exemple) a sa propriété caractéristique qui est de type RR rightarrow Bool. Par exemple la propri'eté caractéristique de est la fonction . L'égalité des parties est celle de leurs propriétés caractéristiques. Si x est un réel et P une partie de RR, on note x in P la valeur en x de la propriété caractéristique de P, et on dit que x est ou n'est pas dans P selon que cette valeur est V ou F. Et les 'léments de P sont justement les x de RR qui vérifient x in P. La distinction entre x in P et x : P n'est pas trop indispensable, et la confusion entre ces deux formulations sera tolérée. La distinction est tout aussi subtile, mais peut-être plus naturelle, entre une partie et sa propriété caractéristique.

Sections du document

I   Ensembles et énoncés
I.1   L'ensemble des ensembles
I.2   L'ensemble des énoncés
I.3   Des ensembles plus petits
I.4   Prop et Bool
I.5   Quelle égalité?
I.6   La réunion disjointe
I.7   RR et ses avatars
I.8   La bottomisation
I.9   Les fonctions
I.10   Les parties et l'appartenance

Cours de Math

Les feuilles de travaux dirigés

Feuille 1: Les complexes
Feuille 2: Inegalités
Feuille 3: Maximum et minimum
Feuille 4: Branches infinies
Feuille 5: Fonctions réciproques

Interrogations écrites

Octobre 2003 Thème: Nombres complexes
Par O. SCHNEIDER
Enoncé
Octobre 2003 Thème: Nombres complexes
Par M. BERNARD
Enoncé
Novembre 2002 Thème: Nombres complexes
Par J. YAMEOGO
Enoncé
Octobre 2000 Thème: Inégalités / Nombres complexes
Par J. YAMEOGO
Enoncé
Octobre 2002 Thème: Inégalités
Par S. DOURLENS
Enoncé Corrigé
Octobre 2002 Thème: Justifications d'inégalités
Par J. YAMEOGO
Enoncé
Octobre 2003 Thème: Majorer
Par M. BERNARD
Enoncé
Octobre 2002 Thème: Majorer, comparer
Par F. GUERIMAND
Enoncé a Enoncé b Corrigé
Octobre 2003 Thème: Maximum
Par M. BERNARD
Enoncé
Octobre 2002 Thème: Etudes de fonctions
Par M. NODET
Enoncé Corrigé
Novembre 2002 Partiel Corrigé

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