OEF Calculs de limites avec logarithmes ou exponentielles --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 9 exercices sur les calculs de limites en classes de Terminale (ES, S, STI). Les compétences requises et testées portent sur : Les exercices comportent plusieurs étapes successives. Un exercice continue à se dérouler même si une réponse fausse a été donnée à l'étape précédente. Les réponses justes sont indiquées après chaque étape, afin de pouvoir continuer correctement les calculs.

Limite de u(x)*exp(kx)

Cet exercice comporte 4 étapes.

On considère la fonction définie sur .
Le but de cet exercice est de calculer par étapes les limites de , en et en respectivement.

1. On nomme la fonction définie sur . Donner les limites de en et en .
=   et   =
1. Votre réponse est juste ! Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie ! Les limites de en et en sont :

  et  

2. Donner maintenant les limites de en et en :
=   et   =
2. Votre réponse est juste ! Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie ! Les limites de l'exponentielle en et en sont :

  et  

3. Des résultats précédents, on déduit la limite de en par = 3. Votre réponse est juste ! Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie ! Des résultats précédents, et par , on déduit l'égalité

4. Des résultats précédents, on déduit la limite de en par =
Consignes de saisie.

Limite de u(x)*ln(kx)

Cet exercice comporte 4 étapes.
On considère la fonction définie sur . Le but de cet exercice est de calculer par étapes les limites de , en et en respectivement.
1. On nomme la fonction définie sur . Donner les limites de en et en .
  et  
1. Votre réponse est juste ! Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie ! Les limites de en et en sont :

  et  

2. Donner maintenant les limites de en et en :
  et   =
2. Votre réponse est juste ! Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie ! Les limites du logarithme en et en sont :

  et  

3. Des résultats précédents, on déduit la limite de en par 3. Votre réponse est juste ! Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie ! Des résultats précédents, et par , on déduit l'égalité :

4. Des résultats précédents, on déduit la limite de en par
Consignes de saisie.

Limite de k.ln(ax+b) ou k/ln(ax+b)

Cet exercice comporte 5 étapes.

Soit la fonction définie sur par : .

Le but de cet exercice est de calculer par étapes la limite de en .

1. La fonction est de la forme avec :
= et =

1. Votre réponse est juste ! Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie ! La fonction est de la forme avec et .

2. Donner la limite de en .
=
2. Votre réponse est juste ! Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie ! La limite de en est :

3. Donner la limite de en .
=
3. Votre réponse est juste ! Attention, votre réponse est fausse ! Par les résultats du cours, on obtient :

4. En posant , par composition de limites, on déduit l'égalité :
=
4. Votre réponse est juste ! Attention, votre réponse est fausse ! Par composition, la limite de en est

.

5. Finalement, par les règles opératoires des limites, on obtient :
=
Consignes de saisie. Écrire +inf pour et -inf pour .

Limite de k.exp(ax+b) ou k/exp(ax+b)

Cet exercice comporte 5 étapes.

Soit la fonction définie sur par : .

Le but de cet exercice est de calculer par étapes la limite de en .

1. La fonction est de la forme avec :
= et =

1. Votre réponse est juste ! Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie ! La fonction est de la forme avec et .

2. Donner la limite de en .
=
2. Votre réponse est juste ! Attention, votre réponse est fausse, au moins en partie ! La limite de en est :

3. Donner la limite de en .
=
3. Votre réponse est juste ! Attention, votre réponse est fausse ! Par le cours, on obtient :

4. En posant , sachant , on déduit l'égalité :
=
4. Votre réponse est juste ! Attention, votre réponse est fausse ! La limite de en est :

.

5. Finalement, par les règles opératoires des limites, on obtient l'égalité :
=
Consignes de saisie. Écrire +inf pour et -inf pour .

Croissance comparée : limites de base

Cet exercice comporte 2 étapes. Il permet de revoir les limites de référence exprimant les croissances comparées entre exponentielle ou logarithme d'une variable et puissances de cette même variable.

1. L'affirmation « » est :

1. L'affirmation « » est .

L'affirmation juste est : « ».

2. Formellement, cela signifie qu'on a : =
Consignes de saisie. Écrire +inf pour et -inf pour .

Formes indéterminées ou non avec ln ou exp

Cet exercice comporte 6 étapes.

Soit la fonction définie sur par : . La fonction s'écrit donc avec, pour tout réel de ,   et   . Le but de cet exercice est de calculer la limite de en .

1. Donner la limite de en :
=
1. Votre réponse est juste ! Attention, votre réponse () n'est pas la bonne ! La limite de en est :

.

2. Donner la limite de en :
=
2. Votre réponse est juste ! Hélas, votre réponse () n'est pas bonne ! La limite de en est :

.

3. Donner la limite de en = 3. Votre réponse est juste ! Humm, votre réponse () n'est pas correcte !

4. En posant , sachant que , on déduit l'égalité :

= .
4. Votre réponse est juste ! Votre réponse () n'est pas correcte ! La limite de en est:

.

5. Peut-on déduire la limite en de en appliquant les règles opératoires sur les limites ?
5. Votre réponse est juste ! Votre réponse () est erronée !

Les règles opératoires des limites sont valables ici, car il n'y a aucune forme indéterminée. On ne peut pas appliquer les règles opératoires des limites, car il y a une forme indéterminée du type . On applique alors les règles de croissance comparée : "l'exponentielle l'emporte sur les polynômes". "les polynômes l'emportent sur le logarithme".

On obtient donc :
= .
Consignes de saisie. Écrire +inf pour et -inf pour .

Formes indéterminées ou non avec exponentielle

Cet exercice comporte 6 étapes.

Soit la fonction définie sur par : . La fonction s'écrit donc avec, pour tout réel de ,   et   . Le but de cet exercice est de calculer la limite de en .

1. Donner la limite de en :
=
1. Votre réponse est juste ! Attention, votre réponse () n'est pas la bonne ! La limite de en est :

.

2. Donner la limite de en :
=
2. Votre réponse est juste ! Hélas, votre réponse () n'est pas bonne ! La limite de en est :

.

3. Donner la limite de en = 3. Votre réponse est juste ! Humm, votre réponse () n'est pas correcte !

4. En posant , sachant que , on déduit l'égalité :

= .
4. Votre réponse est juste ! Votre réponse () n'est pas correcte ! La limite de en est:

.

5. Peut-on déduire la limite en de en appliquant les règles opératoires sur les limites ?
5. Votre réponse est juste ! Votre réponse () est erronée !

Les règles opératoires des limites sont valables ici, car il n'y a aucune forme indéterminée. On ne peut pas appliquer les règles opératoires des limites, car il y a une forme indéterminée du type . On applique alors les règles de croissance comparée : "l'exponentielle l'emporte sur les polynômes". "les polynômes l'emportent sur le logarithme".

On obtient donc :
= .
Consignes de saisie. Écrire +inf pour et -inf pour .

Formes indéterminées ou non avec logarithme

Cet exercice comporte 6 étapes.

Soit la fonction définie sur par : . La fonction s'écrit donc avec, pour tout réel de ,   et   . Le but de cet exercice est de calculer la limite de en .

1. Donner la limite de en :
=
1. Votre réponse est juste ! Attention, votre réponse () n'est pas la bonne ! La limite de en est :

.

2. Donner la limite de en :
=
2. Votre réponse est juste ! Hélas, votre réponse () n'est pas bonne ! La limite de en est :

.

3. Donner la limite de en = 3. Votre réponse est juste ! Humm, votre réponse () n'est pas correcte !

4. En posant , sachant que , on déduit l'égalité :

= .
4. Votre réponse est juste ! Votre réponse () n'est pas correcte ! La limite de en est:

.

5. Peut-on déduire la limite en de en appliquant les règles opératoires sur les limites ?
5. Votre réponse est juste ! Votre réponse () est erronée !

Les règles opératoires des limites sont valables ici, car il n'y a aucune forme indéterminée. On ne peut pas appliquer les règles opératoires des limites, car il y a une forme indéterminée du type . On applique alors les règles de croissance comparée : "l'exponentielle l'emporte sur les polynômes". "les polynômes l'emportent sur le logarithme".

On obtient donc :
= .
Consignes de saisie. Écrire +inf pour et -inf pour .

Limites de référence (QUIZZ)

Dans cet exercice on exerce le calcul mental sur les limites de référence au programme de Terminale. Il faut répondre rapidement.
= =
=   =
= =
Consignes de saisie. Écrire +inf pour désigner et -inf pour désigner .

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