OEF Probabilité en Première S --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 36 exercices de probabilité sur la construction d'un espace de probabilité, les opérations sur les événements, l'équiprobabilité, la notion de variable aléatoire, d'espérance mathématique et d'écart-type.

Cas de l'équiprobabilité 1

On compose au un nombre de chiffres avec uniquement des et des .

Quelle est la probabilité des événements suivants ?

Cas de l'équiprobabilité 2

On lance deux dés cubiques équilibrés, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

Quelle est la probabilité des événements suivants ?

Cas de l'équiprobabilité 3

vont au spectacle et laissent leur chapeau au vestiaire.
A la fin du spectacle, chacune reprend un des chapeaux au hasard.

Quelle est la probabilité des événements suivants ?

Cas de l'équiprobabilité 4

Le « digicode » de la porte d'entrée d'un immeuble propose un clavier à 12 touches ; elles sont marquées de 10 chiffres de 0 à 9, et des lettres V et W.

Un code est formé d'une lettre suivie d'un nombre à chiffres (comme par exemple ).
  1. Quelle est la probabilité pour qu'en composant un code au , on obtienne le code secret ?
  2. Quelle est la probabilité pour que le code secret se termine par 0 ?
  3. Un individu indiscret a pu déterminer que le code commence par la lettre V et s'achève par un 8.
    Quelle est la probabilité, grâce à ces renseignements, qu'il trouve le bon code du premier coup en composant au hasard les numéros qu'il ne connaît pas ?

Cas de l'équiprobabilité 5

On a disposé dans une urne boules indiscernables numérotées de 1 à .

On choisit au une boule dans cette urne.

On considère les événements :
Déterminer la valeur de l'entier , sachant que .

Variable aléatoire et indicateurs 1

On considère l'univers où les sont des réels différents. On munit l'univers de la loi de probabilité décrite par le tableau suivant :

On appelle son espérance.
On considère la variable aléatoire S qui à l'éventualité associe le réel , dont la loi de probabilité est :

et la variable aléatoire qui à l'éventualité associe le réel , dont la loi de probabilité est :
Calculer l'espérance des variables et , en fonction des réels , et .


Variable aléatoire et indicateurs 2

On lance au plus trois fois une pièce bien équilibrée ; la partie s'arrête dès que l'on a obtenu "Pile".
Les issues possibles de cette expérience peuvent s'écrire :

PFPFFPFFF
Ces quatres issues sont-elles équiprobables ?

Calculer les probabilités des événements suivants :

Donner les valeurs exactes.
Soit la variable aléatoire qui à l'événement A associe points ( entier), à l'événement B points, à l'événement C 1 point et à l'événement D points.
Calculer à partir de quelle valeur de le jeu est favorable au joueur.
à partir de

Variable aléatoire et indicateurs 3

Le jeu consiste à s'engager dans un dédale et à le parcourir avec la règle suivante : on ne peut aller que vers le nord ou vers l'est, et à chaque carrefour, on choisit la direction en lançant une pièce : pile on va vers le Nord, face on va vers l'Est. A chacune des 6 sorties possibles est associé un résultat : on peut gagner 100 euros, 200 euros ou perdre 300 euros.
Déterminer le nombre d'itinéraires possibles :
Un trajet comporte au minimum 3 étapes et au maximum 5 étapes.
Déterminer la probabilité d'un trajet en fonction de son nombre d'étapes :
Trajet comportant 3 étapes 4 étapes 5 étapes
Probabilité
Puis déterminer le nombre d'itinéraires possibles pour chacune des 6 sorties.
Sortie
Nb chemins
On considère la variable aléatoire qui, à chaque parcours, associe le gain (positif ou négatif) final.
Déterminer la loi de probabilité de , son espérance mathématique et son écart type.
-300+100+200
et = arrondi au centième

Variable aléatoire et indicateurs 4

Un joueur joue au jeu de pile ou face avec la règle suivante :
Si Face sort, il perd sa mise, si Pile sort, il gagne le double de sa mise.
Sa mise initiale est de 1 euro et il dispose au départ d'un capital de euros. La partie s'arrête dès qu'il gagne ou qu'il ne peut plus miser.

Voici deux stratégies :

Variable aléatoire et indicateurs 5

Au casino « Royal des mathématiques » on peut jouer aux machines à sous.
Parmi toutes celles qui existent, voici celle qui emporte le plus grand succès, Le Jackpot des Grands Mathématiciens :
Quatre rouleaux tournent indépendamment les uns des autres et portraits de grands probabilistes (parmi d'autres) peuvent sortir (pour chacun des rouleaux) : .

Exemple d'une partie (après avoir mis une pièce d'1 euro et actionné la manivelle)
jackpot
On joue une partie à 1 euro.
Quelle est la probabilité des événements suivants ?
Entrer les valeurs exactes.
On gagne : Dans les autres cas, on ne gagne rien.
Soit la variable aléatoire donnant le gain d'une partie.
  1. Déterminer la loi de probabilité de .
    -10449
  2. Calculer l'espérance mathématique de et son écart type.
    et arrondi au centième.

Variable aléatoire et indicateurs 6

On déplace au hasard un pion sur le quadrillage ci-contre de A jusqu'à B à l’aide de déplacements d'une unité vers la droite ou vers le bas.
On suppose par la suite que les trajets sont équiprobables.

Le passage du pion par I rapporte un point, points, par J rapporte un point, points, et par K rapporte un point. points.

On appelle la variable qui associe à chaque trajet le nombre de points qu'il rapporte.

Déterminer la loi de probabilité de .
Calculer l'espérance mathématique de

Déterminer le nombre de points à attribuer au passage en L pour avoir .

Donner les valeurs exactes.

Union et intersection d'événements 1

Dans une classe de 1ère S de élèves, il y a filles et des élèves qui apprennent l'espagnol sont des garçons.

On a complété le tableau à double entrée en nombres d'élèves.
 Filles Garçons Total
apprenant l'espagnol
n'apprenant pas l'espagnol
Total
On tire au un élève de cette classe.
Déterminer les probabilités des événements suivants :

Union et intersection d'événements 2

Soit un univers muni d'une probabilité et deux événements et tels que

.
Calculer :

Union et intersection d'événements 3

Soit un univers muni d'une probabilité et deux événements et tels que

.
Calculer :

Union et intersection d'événements 4

La loi de probabilité ci-dessous décrit le lancer d'un dé truqué, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

Numéro123456
Probabilité
Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :

Union et intersection d'événements 5

La loi de probabilité ci-dessous décrit le gain possible à une loterie sans tenir compte du prix du billet.

Gain en euros0510100500
Probabilité d'obtenir ce gain
Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
L'organisateur du jeu prévoit de fixer le prix du billet à euros.
Calculer l'espérance du "gain" en tenant compte du prix du billet.
arrondie au centième d'euro.

Loi de probabilité 1

Traduire, en termes de probabilité, les phrases suivantes correspondant à l'événement A :

  1. A :
    :
  2. A :
    :
  3. A :
    :
Donner les valeurs exactes éventuellement sous forme de fractions irréductibles.

Loi de probabilité 2

Dans une classe de 1ère S de élèves, il y a filles et des élèves qui apprennent l'espagnol sont des garçons.

Compléter le tableau à double entrée en nombres d'élèves.
 Filles Garçons Total
apprenant l'espagnol
n'apprenant pas l'espagnol
Total
On tire au un élève de cette classe.
Compléter le tableau de cette loi de probabilité.
ElèvesFilles
apprenant l'espagnol
Filles
n'apprenant pas l'espagnol
Garçons
apprenant l'espagnol
Garçons
n'apprenant pas l'espagnol
Probabilité
Donner les valeurs exactes éventuellement sous forme de fractions.

Loi de probabilité 3

Le cycle d'allumage d'un feu tricolore est le suivant :
Feu vert pendant secondes, feu orange pendant secondes, feu rouge pendant secondes.

En admettant qu'un automobiliste arrive au hasard devant l'une des trois positions possibles du feu tricolore, déterminer la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.
FeuVertOrangeRougeTotal
Probabilité
Donner les valeurs exactes éventuellement sous forme de fractions.

Loi de probabilité 4

Une roue de loterie est formée de six secteurs A, B, C, D, E, F associés aux mesures d'angles suivantes en degrés :
Secteur A B C D E F
Angle en degré
Lorsque la roue achève sa rotation, un secteur se trouve face au repère avec une probabilité proportionnelle à l'angle associé.
Déterminer la loi de probabilité obtenue.
Secteur A B C D E F Total
Probabilité
Donner les valeurs exactes.

Loi de probabilité 5

On lance deux dés tétraèdriques numérotés de à , puis on calcule la somme des numéros obtenus.

Déterminer la loi de probabilité de cette expérience.
IssueTotal
Probabilité
Calculer les indicateurs suivants :
Donner les valeurs exactes éventuellement sous forme de fractions.

Univers et équiprobabilité 1

Pour modéliser cette expérience on considère les deux univers suivants :
Dans quel univers la loi de probabilité correspondant à l'expérience est-elle équirépartie ?

Univers et équiprobabilité 2

Pour modéliser cette expérience on considère les deux univers suivants :
Dans quel univers la loi de probabilité correspondant à l'expérience est-elle équirépartie ?

Univers et équiprobabilité 3

Pour modéliser cette expérience on considère les deux univers suivants :
Dans quel univers la loi de probabilité correspondant à l'expérience est-elle équirépartie ?

Univers et équiprobabilité 4

On compose au hasard (de manière équiprobable) un nombre de chiffres avec uniquement des et des .

Pour modéliser cette expérience, on considère les deux univers suivants :

  1. qui donne le nombre de fois où le chiffre apparaît.
  2. contient-il d'éléments ?
Dans quel univers la loi de probabilité correspondant à l'expérience est-elle équirépartie ?

Univers et équiprobabilité 5

Deux urnes indiscernables contiennent chacune boules numérotées de 1 à .
On tire au hasard (de manière équiprobable), simultanément, une boule dans chaque urne.

Pour modéliser cette expérience on considère les deux univers suivants :
  1. l'ensemble de tous les couples formés avec . Combien l'univers contient-il d'éléments ?

Dans quel univers la loi de probabilité correspondant à l'expérience est-elle équirépartie ?

Variable aléatoire, loi de probabilité 1

On considère une cible comportant 3 cercles concentriques de rayon cm, cm et cm.

On suppose que toutes les flèches lancées atteignent la cible, et que la probabilité d'atteindre une zone de la cible est proportionnelle à l'aire de cette zone.
Déterminer la probabilité de lancer la flèche à l'intérieur du cercle de rayon cm (zone 1), entre les cercles de rayon cm et cm (zone 2), entre les cercles de rayon cm et cm (zone 3).
On considère la variable aléatoire associée au gain de ce jeu, pour lequel le gain est de 10 euros lorsqu'on atteint la zone 1, de 3 euros lorsqu'on atteint la zone 2 et de 1 euro lorsqu'on atteint la zone 3.
Déterminer la loi de probabilité de .
1 euro 3 euros 10 euros

Variable aléatoire, loi de probabilité 2

Un test est composé de questions auxquelles on doit répondre par Vrai ou Faux.

On coche au hasard les réponses aux questions posées.

Le barème est le suivant : La note finale est le plus grand des deux nombres entre 0 et la somme des points obtenus.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire , définie par la note d'un candidat ayant répondu au hasard.
Calculer l'espérance mathématique, la variance et l'écart type de .
Espérance = sous forme de fraction
Variance = sous forme de fraction
Ecart type = arrondi au centième

Variable aléatoire, loi de probabilité 3

Dans une petite ville, médecins sont de garde le week-end et malades appellent au hasard l'un d'entre eux.

On appelle la variable aléatoire qui, à chaque configuration d'appels, associe le nombre de médecins appelés.

Déterminer la loi de probabilité de .
t

Variable aléatoire, loi de probabilité 4

Dans un pays imaginaire, une loi décide que chaque famille s'arrête de procréer dès qu'elle a eu un garçon (G) et qu'elle continue sinon, en s'arrêtant de toute façon au enfant.

On note le nombre d'enfants par famille, on code par G et F la naissance d'un garçon et d'une fille.

On suppose que la loi de est équirépartie sur l'ensemble des issues .
Calculer .
On suppose maintenant qu'il y a à chaque naissance autant de chance d'avoir un garçon qu'une fille.
En considérant l'ensemble des issues possibles, déterminer la loi de probabilité de et son espérance mathématique.

Variable aléatoire, loi de probabilité 5

On place dans une urne boules numérotées de 1 à . On tire au hasard, successivement et sans remise les boules de cette urne.

Soit la variable aléatoire qui, à chaque issue, associe le nombre de boules pour lesquelles le numéro coïncide avec le numléro de tirage.
Exemple: tirer la boule no1 au 1er tirage; la boule no3 au 3ème tirage.

Déterminer la loi de et son espérance mathématique.

Vocabulaire univers et événement 1

On choisit au hasard (de manière équiprobable) un nombre entier entre 1 et .

  1. Quel est l'univers ?
  2. Décrire de façon ensembliste les événements suivants :
Taper "vide" s'il n'y a pas d'élément ; s'il y a plusieurs éléments, les séparer par une virgule.

Vocabulaire univers et événement 2

On lance deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à . On note le résultat du lancer réalisé sous la forme d'un nombre formé par les deux numéros obtenus, rangés dans l'ordre croissant.

Décrire les événements suivants :

Vocabulaire univers et événement 3

On choisit au hasard (de manière équiprobable) un nombre entier entre 1 et .

On considère les événements suivants :
Décrire de façon ensembliste les événements suivants :

Vocabulaire univers et événement 4

Une corbeille contient des pommes rouges, des pommes jaunes, des poires jaunes et des oranges. On prend un fruit au hasard (de manière équiprobable).

Décrire par une phrase (sans utiliser de négation) l'événement contraire des événements suivants :

Vocabulaire univers et événement 5

On lance deux dés cubiques équilibrés, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

On considère les événements suivants :
  1. -
  2. -
  3. -
  4. -
  5. -

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