OEF Sous-espaces vectoriels --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 8 exercices sur les sous-espaces des espaces vectoriels.

Dimension d'intersection

Remplir :
Soit un espace vectoriel de dimension , et soient , deux sous-espaces vectoriels de , de dimension respectivement et . Alors est et .

Dim sous-espace par système

Soit un sous-espace vectoriel de défini par un système linéaire homogène. Ce système contient équations et le rang de la matrice des coefficients de ce système est égal à . Quelle est la dimension de ?

Dimension de somme

Remplir :
Soit un espace vectoriel de dimension , et soient , deux sous-espaces vectoriels de , de dimension respectivement et . Alors est .

Sous-base

Remplir :
Dans un espace vectoriel de dimension , muni d'une base , on considère un sous-ensemble à éléments de la base , et soit le sous-espace vectoriel de engendré par . Alors est .

Sous-base II

Remplir :
Dans un espace vectoriel de dimension muni d'une base , on considère deux sous-ensembles et de , ayant respectivement et éléments. Supposons que
a éléments. Soient et les sous-espaces vectoriels de engendrés respectivement par et , et soit .
Alors la dimension de est .

Dimension de sous-espace

Remplir :
Soit un sous-espace vectoriel de . Alors est .

Dim sous-espace de matrices

Remplir :
Soit l'espace vectoriel sur des matrices et soit le sous-espace vectoriel de formé des matrices telles que , où est une matrice fixe non nulle de dimension . Alors est égale à et .

Extension de sous-espace

Soient un espace vectoriel de dimension , un sous-espace de engendré par un ensemble , avec . Soit un vecteur de qui une combinaison linéaire de vecteurs de et soit le sous-espace vectoriel de engendré par . Quelle est la dimension de  ?
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