Inégalités, inéquations

Objectifs

Majorer, minorer, encadrer, voici les techniques de base de l'analyse et ce cours a pour but de vous présenter ces techniques et de vous y entraîner. Il fournira une approche de la notion de limite. Il s'agit d'un cours d'approfondissement, notamment en ce qui concerne la difficulté des exercices. Il s'adresse à des étudiants post-bac, ayant une certaine pratique des inégalités.

Pour une approche basique des notions d'inégalités, intervalles et encadrements, on consultera avec le plus grand profit du cours DOC Inégalités, intervalles, inéquations .

Sommaire

A. Inégalités. Encadrements. Inéquations

  1. Encadrements
  2. Bornes d'une partie, d'une expression
  3. Borner une fraction
  4. Techniques d'encadrement
  5. Exercices de déduction d'inégalités simples
  6. Autres exercices classiques
  7. Inéquations : Exercices
  8. Inéquations avec paramètres

B. Implication entre inégalités

  1. Quel est le problème ?
  2. Quelles sont les méthodes ?
  3. Majoration sous condition

C. Applications aux limites.

  1. Limite finie d'une suite
  2. Limite infinie d'une suite
  3. Théorème de comparaison pour les suites
  4. Une définition de limite
  5. Méthode
  6. Un exemple simple
  7. Approche de la définition de la limite
  8. Interprétation

Encadrements

Voici quelques exercices pour tester vos connaissances et votre pratique des inégalités. Si vous rencontrez des difficultés ou que vous manquiez d'assurance, n'hésitez pas à consulter les parties [A], [B] et [C] du cours Activité inconnue .

Exercices. Ces exercices proposent d'encadrer des expressions en x et y connaissant un encadrement des nombres réels x et y.
  1. Encadrement d'une différence
  2. Encadrement de |x|
  3. Encadrement d'un carré
  4. Encadrement d'un produit
  5. Encadrement 1
  6. Encadrement 2
  7. Zone d'inégalité

On rappelle les résultats suivants que l'on cherchera à démontrer pour une meilleure appropriation.

Majoration, minoration des valeurs absolues.
Que se passe-t-il si b est strictement négatif ?

Pour le calcul propositionnel, les ET et OU, consultez cette page .

Bornes d'une partie, d'une expression

Avant d'étudier cette page, on consultera, si nécessaire, la page encadrement du cours Activité inconnue .

Définitions. Dans ce cours, on se place dans , ordonné par la relation leq. Soit 𝒫 une partie non vide de .
  1. On dit que 𝒫 est majorée dans s'il existe un réel M, appelé majorant de 𝒫, tel que tous les éléments de 𝒫 sont inférieurs ou égaux à M.
  2. On dit que 𝒫 est minorée dans s'il existe un réel m, appelé minorant de 𝒫 tel que tous les éléments de 𝒫 sont supérieurs ou égaux à m.
  3. On dit que 𝒫 est bornée dans s'il existe deux réels m et M tels que tous les éléments de 𝒫 sont supérieurs à m et inférieurs à M.
Exercice 1. Majoration et union
Exercice 2. On considère l'ensemble A={(1) n+1n 2,n *}. Quels sont les minorants et les majorants de A?

Tous les réels de : [54,+[ sont des majorants de A. Ceux de : ] -,1 ] en sont des minorants.
On notera que 54 appartient à A, mais que -1 n'y appartient pas.

Exercice 3. On considère l'ensemble X={(1p+1q),p,q *}. Quels sont les minorants et les majorants les plus précis de X?

il est facile de voir que X est minoré par 0, et majoré par 2 puisque p et q sont supérieurs ou égaux à 1
Le maximum 2 est atteint pour p=q=1, c'est donc le meilleur possible (et il appartient à X ).
Si on fait tendre p et q vers +, on voit que (1p+1q) tend vers 0, d'aussi près que l'on veut. 0 est donc le meilleur minimum (mais il n'appartient pas à X).

Majoration sous condition

Exercices. Démontrer les implications suivantes :
  1. x11x 2sinx2xx 264.

    Solution
    Par hypothèse le réel x est dans l'intervalle [0;2], l'expression de la valeur absolue d'un produit et l'inégalité triangulaire nous permettent de majorer le numérateur :

    x 2sinx2x=xxsinx2x(x+2)8

    D'autre part le dénominateur x 26 vaut 6x 2 dans l'intervalle considéré donc est minoré par 2. En combinant ces deux résultats, on obtient l'implication cherchée.
  2. x3x 2exp(x)x 620x 2130.

    Solution
    Quand x est positif, exp (x) est positif et majoré par 1, on obtient donc :

    x 2exp(x)x 620x 21x 420

    Quand x est supérieur à 3, alors on a x 481, donc on obtient x 42030>0
    d'où l'inégalité : 1x 420=1x 420130 qui permet d'obtenir l'implication

    x3x 2exp(x)x 620x 2130

  3. x21x 24xcos(x2)5x2.

    Solution
    Par hypothèse, si x[1;3], x2 est compris entre 1 et 1 et comme la fonction cosinus est paire et décroissante sur [0;1], l'expression cos(x2) est positif et minoré par cos(1). De plus x est minoré par 1 et x+2 est majoré par 5. On obtient donc

    x21x 24xcos(x2)x+2x2cos(1) 5x2cos(1)

    Pour 1π3, on a : cos(1)1215 (on est aussi autorisé à prendre une calculatrice...). Ce qui est équivalent à 5cos(1)5 d'où on tire :

    x21x 24xcos(x2)5x2.

Limite finie d'une suite

La définition suivante est formellement la même dans ou , avec cette différence : la notation a désigne une valeur absolue dans et un module dans .

Définition.
Soit (u n) n une suite numérique, à valeur dans ou . On dit que la suite (u n) n converge vers le nombre l si :

ε n 0 tel que n,nn 0u nlε

On note alors : lim n+u n=l

Graphiquement, cela signifie qu'une valeur ε étant fixée, alors au-delà du rang n 0 (qui dépend du choix de ε), tous les termes de rang supérieurs à n 0 sont dans l’intervalle [ lε,l+ε] dans le cas réel, et dans le disque de centre l et de rayon ε dans le cas complexe.

Dans le graphique ci-dessous, pour une suite u n convergeant vers 2, on a tracé les points de coordonnée (n,u n) pour 0n20. On constate que rapidement tous les points se situent à l'intérieur de la bande entre y=1,5 et y=2,5.

Exemple. On considère la suite définie par u n=2n 2n 23,n,n2. Montrer avec la définition ci-dessus que la suite tend vers 2.
À partir de quel entier n 0 la quantité u n2 sera-t-elle inférieure à ε=10 2?

Ici, on résout des inéquations : On se donne donc un ε petit dans et on cherche les n vérifiant u n2ε : on a les équivalences suivantes
2n 2n 232ε(n 23ε6εetn 23ε+6ε)n 23ε+6εn3ε+6ε
La valeur n 0 qui répond à la définition de la limite est la valeur trouvée, mais, comme elle n'est très probablement pas entière, on prendra n 0=E[3ε+6ε]+1E[a] est la partie entière de a.
Pour ε=10 2, on trouve n 0=25.
On notera que l'on a ici raisonné par équivalence.

On transforme l'expression et on utilise les règles de majoration et minoration d'une fraction :

2n 2n 232 = 6n 23 = 6(n3)(n+3).

On peut minorer n+3 par n, puis n3 par 10, ce qui est acquis dès que n12.
On obtient ainsi 2n 2n 232 leq 610n
Pour ε=10 2, on trouve n 0=60, compatible avec l'hypothèse n12. Ce résultat est moins précis que le résultat précédent mais on a raisonné directement par majoration et minoration ce qui est dans l'esprit de ce document.

Limite infinie d'une suite

Définitions.
Soit (u n) n une suite à valeur dans .
Remarque.

Un certain nombre de suites "de référence" tendent vers +. Par exemple, les suites (n α) n (avec α>0); (ln(n)) n; (n) n; (e n) n ... Ces suites seront largement utilisées pour des majorations ou minorations de suites plus complexes, en utilisant les théorèmes de comparaison, voir par exemple un Théorème de comparaison pour les suites .

Exercice. Avec des fonctions trigonométriques
Exercice. Montrer que toutes les suites arithmétiques (u n) n de raison r non nulle tendent vers l'infini.
Même question avec les suites géométriques (v n) n de raison q>1.

On peut démontrer par récurrence les formules u n=u 0+nr et v n=v 0q n.
Pour traiter la suite géométrique, poser q=1+x avec x>0. Commencer à développer à l'aide de la formule du binôme de Newton et minorer judicieusement.

Exercice. On considère la suite (u n) ndéfinie par la relation de récurrence u n+1=u n 2. Que peut-on dire de cette suite dans la cas u 0]0,1[ ? dans le cas u 0>1 ?

Théorème de comparaison pour les suites

Cet énoncé résulte facilement de la définition d'une suite tendant vers l'infini.

Théorème.
Soit (u n) n et (v n) n deux suites vérifiant :
  1. Il existe un rang n 0 tel que pour tout nn 0u nv n
  2. La suite (u n) n tend vers +.
Alors la suite (v n) n tend vers +.
En présence d'une suite (v n) dont on pense qu'elle tend vers +, on peut chercher à la minorer par une des suites de référence rappelées à la page précédente, ou une suite connue dont on connait le comportement, et on conclura par ce théorème.
Exemple. Déterminer la limite en + de la suite définie par u n=e nn 32cos(n)n1.
Solution : Cette suite est positive. On minore le numérateur et on majore le dénominateur et on obtient e nn 3e n et 2cos(n)3. On en déduit une minoration de u n par le terme général d'une suite qui tend vers l'infini : u ne n3. Cela démontre l'égalité lim n+u n=+
Exercice. On considère la suite définie, pour n0, par u n=4n 2+5n+22n+1. Montrer avec la définition ci-dessus, et en utilisant des techniques de majoration/minoration, que cette suite tend vers +.

Pour rester dans l'esprit du document, on procéde par minoration:
u n=4n 2+5n+22n+1=4n 2+4n+12n+1+n+12n+1=2n+1+n+12n+12n+1
On se donne un nombre réel A0 et on cherche un entier n 0 répondant à la définition.
Si on choisit n tel que 2n+1A, on peut écrire les inégalités : u n2n+1A, et en particulier u nA.
il suffit donc de choisit pour n 0 le plus petit entier naturel n tel que 2n+1A, par exemple n 0=E(A12)+1, où E(a) est la partie entière du réel a.
Ici, nous avons montré que la suite minorante (2n+1) n tend vers l'infini et nous avons ainsi conclu avec la définition sans invoquer le théorème.

Exercice. Montrer que la suite définie, pour n1, par u n= k=1 k=2n1(2k2n)=(212n)(222n)(232n)(22n12n) tend vers +.

Les facteurs correspondants à des valeurs de k comprises entre 1 et n sont supérieurs ou égaux à 32. Les autres sont supérieurs à 1, on obtient donc u n(32) n. La suite ((32) n) n est une suite géométrique de raison supérieure à 1, donc elle tend vers +, ainsi que (u n) n, grâce au théorème de comparaison.

Exercice. Comparaison de suites.

Une définition de limite

Définition.

Soit A un sous-ensemble de et f une fonction définie sur A à valeurs dans . Soit b un réel (n'appartenant pas nécessairement à A, mais tel que f soit « définie au voisinage de b »), et L un réel.
On dit que f admet L pour limite au point b, lorsque :
Pour tout réel ε>0, il existe un réel α>0, tel que, pour tout x dans A avec xbα, on ait f(x)Lε

Cette proposition s'écrit aussi.

ε>0,α>0,[xA et xbα]f(x)Lε

On note L=lim xbf(x), ou L=lim bf.

Commentaires sur cette définition

  1. Cette définition de la limite fait appel, on le voit, à des inégalités, ce qui justifie sa présence dans ce document qui, pour autant, n'est pas consacré aux questions de limite.
  2. On notera que la valeur de la limite L est ici supposée connue.
Exercices.
  1. Calcul d'un\(epsilon\)
  2. Aide visuelle. Le nombre ε étant donné, trouver α en étant aidé visuellement.

En attendant d'avoir des théorèmes sur les limites, on voit que pour démontrer qu'une fonction admet la limite L quand x tend vers x 0, on est amené, pour un ε donné, à trouver un nombre α (qui n'est pas unique, bien sûr) vérifiant certaines propriétés. La méthode est décrite à cette page .

Méthode

Une lecture approximative de la définition de la limite peut conduire à une direction de travail peu précise. Certains la réduisent au schéma suivant : si x tend vers b, alors f(x) tend vers L, mettant la priorité au comportement de x, qui va entraîner celui de f(x). La démarche de la démonstration est exactement inverse.

Revenons à un peu de logique mathématique. Dans une implication 𝒫𝒬, le but final est la proposition 𝒬, c'est donc ce que l'on doit avoir en perspective dès le début.

On a ainsi trouvé un intervalle [bα,b+α] sur l'axe des abscisses (et qui doit être dans l'ensemble de définition) dans lequel il suffit de prendre les valeurs de x dans A, pour avoir f(x)Lε, c'est à dire pour que que f(x) soit dans l'intervalle [Lε,L+ε].

Exemple d'application.

Montrer, en utilisant la définition ci-dessus, que la fonction f définie sur par f(x)=x 2+4x5 admet pour limite 0 lorsque x tend vers 1.

Preuve : On note d'abord que le trinôme admet 1 et -5 pour racines. Donc f(x)L=(x 2+4x5)0=x1x+5, et on a fait apparaitre la quantité x1.
Comme x tend vers 1, on peut supposer que x est compris entre 0 et 2, mais on introduit donc une condition sur x (dont il faudra tenir compte) qui s'écrit x11 (*).
Comme x est compris entre 0 et 2, 5x+57. Cette condition nous permet donc de majorer x+5 par 7.
Donc f(x)L=x1x+5 est majoré par 7x1
Soit ε>0, pour que l'inégalité f(x)Lε soit vérifiée, il suffit que la condition (*) soit vérifiée et qu'on ait 7x1ε, c'est-à-dire x1ε7. Donc on choisit α=min(1,ε7).

Application. Si on se donne par exemple, ε=0,7 on obtient α=0,1 et on sait alors que toutes les valeurs de x se trouvant dans l'intervalle [0,9;1,1] ont des images par f dans l'intervalle [0,7;0,7].

Un exemple simple

Exercice 1. Soit a, b des réels, C un réel positif, et n un entier naturel. Donner une majoration raisonnable de f(x)b de la forme Cxa n.
  1. f(x)=x 3,a=2,b=8 avec la condition x21.
    Solution

    x 38=(x2)(x 2+2x+4) x2(x 2+2x+4)

    Si la condition x21 est vérifiée, x est majoré par 3 et on peut écrire :

    f(x)b19x2

  2. f(x)=x 2+3x2,a=1,b=4 avec la condition x112
    Solution

    x 2+3x2+4=(x1)(x+5)x2

    Si x est compris entre 1/2 et 3/2, (on est alors sûr que la fonction est définie), on minore x2 par 12 (faire un dessin sur la droite réelle en plaçant 12, 1, 32 et 2, et on majore x+5 par 132. On peut donc écrire que

    si x est compris entre 1/2 et 3/2 , x 2+3x2+413x1

  3. f(x)=x 2+1x 2,a=1,b=2 avec la condition x112
    Solution

    x 2+1x 22 = (x 21) 2x 2 = (x1) 2(x+1) 2x 2

    La fonction est définie si et seulement si x n'est pas nul, nous allons donc supposer que x est entre 12 et 32, alors (x+1) 2 est majoré par 5 22 2 et x 2+1x 22 est majoré par 7(x1) 2 pour faire simple.
Exercice 2. Montrer, avec la définition précédente que lim x1(x 2+1)=2
Solution
f(x)L=(x 2+1)2=x1x+1.
Au voisinage de 1, on peut supposer que 12x32, et donc que x112(*) condition qui sera réutilisée. De plus 32x+152
On a donc obtenu : f(x)L=x1x+152x1
Soit ε>0, pour que l'inégalité f(x)Lε soit vérifiée, il suffit que la condition (*) soit vérifiée et qu'on ait 52x1ε, c'est-à-dire x12ε5.
On choisit donc α=inf(2ε5,12)
Conclusion : ε>0,α>0(α=inf(2ε5,12))x1α(x 2+1)2ε. Ce qui prouve le résultat cherché.
Exercice 3. Soit ε un réel strictement positif. Dans chacun des cas traités au-dessus, proposer une valeur de α dépendant de ε telle que l'implication suivante soit vraie :

xaαf(x)bε

Solution

xaα Rightarrow f(x)bε

Une infinité de choix de α sont possibles, le choix dépend de la majoration qu'on a réussi à faire. Les majorations proposées permettent d'affirmer que les valeurs de α suivantes conviennent ainsi que toute valeur inférieure.
  1. α=inf(ε19,1). On doit choisir α inférieur à 1 car la majoration n'est démontrée que pour x21.

    x2inf(ε19,1) Rightarrow ) x 38ε

  2. α=inf(ε13,12).

    x1inf(ε13,12) x 2+3x2+4ε

  3. α=inf(ε4,12).

    x1inf(ε4,12) x 2+1x 22ε

document donnant une introduction à la notion de limite.
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