OEF Loi binomiale --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 12 exercices sur l'utilisation de la loi binomiale. Ces exercices ont été conçus dans un contexte de BTS industriel, mais la plupart d'entre eux peuvent être utilisés dans d'autres classes, et en particulier en classe de première.
Un exercice sur l'intervalle de fluctuation a été rajouté dans cette optique. Pour celui-ci, il est possible de choisir un seuil fixe de 95% ou un seuil aléatoire entre 90 et 99% à l'aide du paramètre en bas de la page.
Il est possible en réglant les paramètres ci-dessous de faire afficher le triangle de Pascal dans les exercices Utilisation de la formule et Calcul d'une probabilité. Un autre exercice permet de faire compléter le triangle de Pascal.

Approximation par une loi de Poisson

On considère une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres et .

Les conditions sont remplies pour pouvoir approcher cette loi par une loi de Poisson.

est On peut approcher cette loi par une loi de Poisson de paramètre . Soit une variable aléatoire suivant cette loi de Poisson. Calculer .

Loi binomiale (ex complet)

.

On appelle la variable aléatoire qui, à tout échantillon de pièces prélevées avec remise, associe le nombre de dans cet échantillon.


Loi binomiale (sans ecart type)

.

On appelle la variable aléatoire qui, à tout échantillon de pièces prélevées avec remise, associe le nombre de dans cet échantillon.


Calculs avec inégalités

On considère une variable aléatoire qui suit la loi binomiale ( ; ).

.


Calcul de l'espérance d'une loi binomiale

On considère une variable aléatoire qui suit la loi binomiale .
est égale à : .

Intervalle de fluctuation

On s'intéresse à un caractère dont la fréquence dans la population est .

On cherche à déterminer l'intervalle de fluctuation centré sur , au seuil de , de la fréquence de ce caractère dans les échantillons de taille .

On note la variable aléatoire égale au nombre d'individus ayant le caractère étudié dans un échantillon aléatoire de individus.
Cette variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres et .

Pour trouver l'intervalle de fluctuation de la fréquence à , on commence par déterminer les deux entiers et avec tels que :

On obtient
et .
L'intervalle de fluctuation, au seuil , de la fréquence de ce caractère dans les échantillons de taille est donc :
Arrondir les bornes à 0.1 % près si besoin.

Utilisation de la formule

On considère une variable aléatoire qui suit la loi binomiale ( ; ).
.

Paramètres d'une loi binomiale

.

On appelle la variable aléatoire qui, à tout échantillon de pièces prélevées avec remise, associe le nombre de dans cet échantillon.

suit( ; ).

Paramètres d'une loi binomiale 2


On admet que la variable aléatoire suit une loi binomiale
Donner les paramètres et de cette loi binomiale.
et .
On donnera le paramètre sous forme fractionnaire.

Calcul d'une probabilité

.

On appelle la variable aléatoire qui, à tout échantillon de pièces prélevées avec remise, associe le nombre de dans cet échantillon. La variable aléatoire suit donc la loi binomiale ( ; ).

Calculer à près la .

Loi binomiale ?

La variable aléatoire suit-elle ?

Compléter le triangle de Pascal

Compléter ci-dessous l'extrait du triangle de Pascal :

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