Majorer, minorer, encadrer, voici les techniques de base de l'analyse et ce cours a pour but de vous présenter ces techniques et de vous y entraîner. Il fournira une approche de la notion de limite. Il s'agit d'un cours d'approfondissement, notamment en ce qui concerne la difficulté des exercices. Il s'adresse à des étudiants post-bac, ayant une certaine pratique des inégalités.
Pour une approche basique des notions d'inégalités, intervalles et encadrements, on consultera avec le plus grand profit du cours DOC Inégalités, intervalles, inéquations .
Voici quelques exercices pour tester vos connaissances et votre pratique des inégalités. Si vous rencontrez des difficultés ou que vous manquiez d'assurance, n'hésitez pas à consulter les parties [A], [B] et [C] du cours Activité inconnue .
On rappelle les résultats suivants que l'on cherchera à démontrer pour une meilleure appropriation.
Pour le calcul propositionnel, les ET et OU, consultez cette page .
Avant d'étudier cette page, on consultera, si nécessaire, la page encadrement du cours Activité inconnue .
Tous les réels de : [[ sont des majorants de . Ceux de : ] - ] en sont des minorants.
On notera que appartient à , mais que -1 n'y appartient pas.
il est facile de voir que est minoré par 0, et majoré par 2 puisque et sont supérieurs ou égaux à 1
Le maximum 2 est atteint pour , c'est donc le meilleur possible (et il appartient à ).
Si on fait tendre et vers , on voit que tend vers 0, d'aussi près que l'on veut. 0 est donc le meilleur minimum (mais il n'appartient pas à ).
Avant d'étudier cette page, on consultera, si nécessaire, la page A.5 et les parties B et C du cours Activité inconnue .
On donne une fraction, un rapport du type . Il s'agit d'encadrer cette expression en la majorant et la minorant.
Attention ! Si une fraction est négative, les règles ci-dessus ne s'appliquent pas. On aura tout intérêt à majorer la fraction en valeur absolue, puis à examiner ensuite son signe.
1. Exemple d'encadrement de la fraction : En appliquant ces règles, on peut écrire les inégalités suivantes :
2. Encadrons la fonction , pour tout réel. Comme n'est pas de signe constant, nous cherchons à majorer :
.
On obtient ainsi l'encadrement : , pour tout réel. On notera d'abord que la fonction est négative sur puisque on a : .
On en déduit que est compris entre et et on obtient .
Il ne reste plus qu'à tout multiplier par -1, ce qui fournit le résultat :
L'étude d'une fonction sur un intervalle permet d'obtenir un encadrement des valeurs prises par cette fonction : le maximum et le minimum (ou une borne inf et une borne sup) de la fonction sur l'intervalle. On peut aussi être plus précis en se restreignant à une partie de l'ensemble de définition pour avoir un encadrement local.
L'étude (simple) et le tableau de variation permettent de montrer l'encadrement :
Ce qui est confirmé par la représentation graphique de la fonction,
Pour montrer que, pour tout dans un intervalle , on a , on peut étudier le signe de la différence sur . Si cette différence reste toujours négative, l'inégalité est prouvée sur un intervalle .
On introduit les deux fonctions et que l'on étudie sur . On démontre aisément les inégalités et , pour tout dans .
Utiliser le théorème précédent en différenciant les deux cas : sur pour , et sur pour
On rappelle que si une fonction est convexe sur un intervalle (par exemple, si elle est deux fois dérivable avec une dérivée seconde positive sur ) alors sa représentation graphique est au-dessus de toutes les tangentes en tout point de , et au-dessous de toutes les cordes joignant deux de ses points.
On remarquera que la fonction est convexe sur .
Pour l'inégalité de gauche, s'intéresser à la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle (convexe, car sa dérivée seconde est strictement positive) au point ... Pour l'inégalité de droite, utiliser le point 2 de cette page.
- Pour l'inégalité de droite, élever au carré (raisonner par équivalence)
- Pour l'inégalité de gauche, reprendre l'inégalité de droite (qui a donc été démontrée ) en écrivant que ..., puis permuter et .
On développera l'expression où , en faisant apparaitre un trinôme du second degré en , sur lequel on fera une remarque judicieuse.
L'inégalité de Cauchy-Schwarz avec deux termes, élevée au carré, donne :
Puis faire : .
On applique le théorème des accroissements finis à la fonction : sur l'intervalle fermé [].
Il existe dans le même intervalle mais ouvert, tel que .
Donc : . Or .
On a ainsi : . Puis :.
Et on conclut avec la croissance stricte de la fonction exponentielle.
On veut demontrer que . Il est naturel d'introduire les deux fonctions et
, et . On remarque que ce qui permet de les factoriser.
On arrive à : et . On en déduit que et sont positives sur l'intervalle, puis le résultat.
On va raisonner par équivalence, et utiliser le fait que deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre.
(1)
Les implications sont immédiates. Pour les réciproques de 1 et 3, on démontre la proposition contraposée.
1- La contraposée il existe tel que est vraie, par exemple, pour .
2- On remarque que , et on est ramené au (1)
3- La contraposée il existe tel que est vraie, par exemple, pour .
4- On remarque que , et on est ramené au (3)
L'idée est naturelle de prendre le log de l'expression pour ôter la puissance n-ième de .
. D’où l'introduction de la fonction indiquée, que l'on va étudier.
est dérivable sur et . On voit, en faisant le tableau de variation que est croissante sur [], décroissante sur [ ].
De plus, et, comme , on obtient le résultat.
1 - Notons tout d'abord que tout se passe dans . Appelons le partie réelle de et sa partie imaginaire. Pour l'inégalité de gauche, il faut démontrer que . En élevant tout au carré (possible) on arrive après calcul à: . Ce qui est vrai et prouve la première inégalité. La seconde se traite à peu près de la même façon.
2 - Dans l'expression , valide puisque et donc que , on reconnait la somme des premiers termes d'une suite géométrique, de premier terme 1 et de raison . Donc . En utilisant l'inégalité triangulaire, cela permet alors d'écrire :
Avant d'étudier cette page, on consultera, si nécessaire, la partie F du cours Activité inconnue .
On regroupera tout dans le membre de gauche, en réduisant au même dénominateur. On obtient une fraction qui doit être strictement positive.
Résolvons le premier des trois cas, pour . On fait donc un tableau de signe avec les trois termes et en dernière ligne.
On obtient la solution suivante : Dans le cas , l'ensemble des solutions est .
Les deux autres cas mentionnées ci-dessus se traitent de la même façon.
On n'oubliera pas les deux cas particuliers et .
Traitons le premier. Pour , on a , et , avec . L'inéquation s'écrit , et donc pour , l'ensemble des solutions est
On remarquera que le dénominateur de la fraction est strictement positif pour tout réel . On multiplie donc les deux membres de l'équation par et on obtient une inéquation équivalente du type , elle-même équivalente à . Deux inégalités à résoudre...
L'inéquation est vérifiée pour tout réel si vérifie .
Considérons une fonction
de
sur
, par exemple
.
Est-elle bornée si
varie
dans un intervalle donné
, par exemple
?
On peut évidemment faire une étude complète de
la fonction (bien compliquée dans ce cas particulier), mais souvent une estimation suffit, encore qu'elle ne fournisse pas toujours le meilleur encadrement possible...
Dans notre exemple, se présente comme une fraction : pour majorer , nous allons (comme il a été vu dans la page Borner une fraction )
En conclusion, on peut dire que, sur , la fonction est majorée par 24 et même par 8 si on a été plus courageux.
Remarque. Toutefois, si l'on trace la courbe représentative de la fonction (ici avec Geogebra), on obtient ceci :
Solution
D'autre part le dénominateur vaut dans l'intervalle considéré donc est minoré par 2. En combinant ces deux résultats, on obtient l'implication cherchée.
Solution
Quand est supérieur à 3, alors on a , donc on obtient
Solution
Pour , on a : (on est aussi autorisé à prendre une calculatrice...). Ce qui est équivalent à d'où on tire :
.
La définition suivante est formellement la même dans ou , avec cette différence : la notation désigne une valeur absolue dans et un module dans .
tel que
On note alors :Graphiquement, cela signifie qu'une valeur étant fixée, alors au-delà du rang (qui dépend du choix de ), tous les termes de rang supérieurs à sont dans l’intervalle [ ] dans le cas réel, et dans le disque de centre et de rayon dans le cas complexe.
Dans le graphique ci-dessous, pour une suite convergeant vers 2, on a tracé les points de coordonnée pour . On constate que rapidement tous les points se situent à l'intérieur de la bande entre et .Ici, on résout des inéquations : On se donne donc un petit dans et on cherche les vérifiant : on a les équivalences suivantes
La valeur qui répond à la définition de la limite est la valeur trouvée, mais, comme elle n'est très probablement pas entière, on prendra où est la partie entière de .
Pour , on trouve .
On notera que l'on a ici raisonné par équivalence.
= = .
On peut minorer par , puis par 10, ce qui est acquis dès que .tel que
On note alors :tel que
On note alors :Un certain nombre de suites "de référence" tendent vers . Par exemple, les suites (avec ); ; ; ... Ces suites seront largement utilisées pour des majorations ou minorations de suites plus complexes, en utilisant les théorèmes de comparaison, voir par exemple un Théorème de comparaison pour les suites .
On peut démontrer par récurrence les formules et .
Pour traiter la suite géométrique, poser avec . Commencer à développer à l'aide de la formule du binôme de Newton et minorer judicieusement.
Cet énoncé résulte facilement de la définition d'une suite tendant vers l'infini.
Pour rester dans l'esprit du document, on procéde par minoration:
On se donne un nombre réel et on cherche un entier répondant à la définition.
Si on choisit tel que , on peut écrire les inégalités : , et en particulier .
il suffit donc de choisit pour le plus petit entier naturel tel que , par exemple , où est la partie entière du réel .
Ici, nous avons montré que la suite minorante tend vers l'infini et nous avons ainsi conclu avec la définition sans invoquer le théorème.
Les facteurs correspondants à des valeurs de comprises entre et sont supérieurs ou égaux à . Les autres sont supérieurs à 1, on obtient donc . La suite est une suite géométrique de raison supérieure à 1, donc elle tend vers , ainsi que , grâce au théorème de comparaison.
Soit
un sous-ensemble de
et
une fonction définie sur
à valeurs dans
.
Soit
un réel (n'appartenant pas nécessairement à
, mais tel que
soit « définie au voisinage de
»), et
un réel.
On dit que
admet
pour limite au point
, lorsque :
Pour tout réel
, il existe un réel
, tel que, pour tout
dans
avec
,
on ait
Cette proposition s'écrit aussi.
et
On note , ou .
En attendant d'avoir des théorèmes sur les limites, on voit que pour démontrer qu'une fonction admet la limite quand tend vers , on est amené, pour un donné, à trouver un nombre (qui n'est pas unique, bien sûr) vérifiant certaines propriétés. La méthode est décrite à cette page .
Une lecture approximative de la définition de la limite peut conduire à une direction de travail peu précise. Certains la réduisent au schéma suivant : si tend vers , alors tend vers , mettant la priorité au comportement de , qui va entraîner celui de . La démarche de la démonstration est exactement inverse.
Revenons à un peu de logique mathématique. Dans une implication , le but final est la proposition , c'est donc ce que l'on doit avoir en perspective dès le début.
On a ainsi trouvé un intervalle sur l'axe des abscisses (et qui doit être dans l'ensemble de définition) dans lequel il suffit de prendre les valeurs de dans A, pour avoir , c'est à dire pour que que soit dans l'intervalle .
Montrer, en utilisant la définition ci-dessus, que la fonction définie sur par admet pour limite 0 lorsque tend vers .
Preuve : On note d'abord que le trinôme admet 1 et -5 pour racines. Donc , et on a fait apparaitre la quantitéApplication. Si on se donne par exemple, on obtient et on sait alors que toutes les valeurs de se trouvant dans l'intervalle ont des images par dans l'intervalle .
Si la condition est vérifiée, est majoré par et on peut écrire :
si x est compris entre 1/2 et 3/2 ,
= =
La fonction est définie si et seulement si n'est pas nul, nous allons donc supposer que est entre et , alors est majoré par et est majoré par pour faire simple.Solution
)
Maintenant nous allons majorer par une constante sur un intervalle plus petit contenu dans . D'une part est minoré par 1, d'autre part si est supérieur à [Hypothèse que l'on fait pour être au voisinage de , mais que l'on devra contrôler ultérieurement], alors est inférieur à 4, donc
pour tout est majoré par , et par .
Remarque : si vérifie , vérifie aussi . La majoration est donc valide et nous avons montré l'implication suivante :En résumé, si on choisit entre et , on peut dire que vaut 2 à 10-3 près ou que l'erreur est au plus de 10-3. Le travail central ici est le travail de majoration, en effet ensuite la détermination de l'intervalle est immédiate. Nous pouvons utiliser ce travail de majoration pour affirmer :
Comme notre majoration n'est valide que pour supérieur à , condition qui est vérifiée si appartient à l'intervalle ; on impose la condition . Pour que l'implication soit vraie, il suffit donc de prendre .