Inégalités, inéquations

Exercices. Ces exercices proposent d'encadrer des expressions en $x$ et $y$ connaissant un encadrement des nombres réels $x$ et $y$.

1. Encadrement d'une différence
2. Encadrement de |x|
3. Encadrement d'un carré
4. Encadrement d'un produit
5. Encadrement 1
6. Encadrement 2
7. Zone d'inégalité

Exercice 1. Majoration et union

Exercice 2. On considère l'ensemble $A=\{(-1{)}^n+{\displaystyle \frac{1}{n^2}},n\in {\mathbb{N}}^{*}\}$. Quels sont les minorants et les majorants de $A$?

Tous les réels de : [${\displaystyle \frac{5}{4}},+\mathrm{\infty }$[ sont des majorants de $A$. Ceux de : ] -$\mathrm{\infty },-1$ ] en sont des minorants.
On notera que ${\displaystyle \frac{5}{4}}$ appartient à $A$, mais que -1 n'y appartient pas.

Exercice 3. On considère l'ensemble $X=\left\{\right({\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}),p,q\in {\mathbb{N}}^{*}\}$. Quels sont les minorants et les majorants les plus précis de $X$?

il est facile de voir que $X$ est minoré par 0, et majoré par 2 puisque $p$ et $q$ sont supérieurs ou égaux à 1
Le maximum 2 est atteint pour $p=q=1$, c'est donc le meilleur possible (et il appartient à $X$ ).
Si on fait tendre $p$ et $q$ vers $+\mathrm{\infty }$, on voit que $({\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}})$ tend vers 0, d'aussi près que l'on veut. 0 est donc le meilleur minimum (mais il n'appartient pas à $X$).

Exercices.

• Donner un encadrement de la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sin (x)-2}}$.

  On notera d'abord que la fonction est négative sur $ℝ$ puisque on a : $-3\le \sin (x)-2\le -1$.
  On en déduit que $2-\sin (x)$ est compris entre $1$ et $3$ et on obtient ${\displaystyle \frac{1}{3}}\le {\displaystyle \frac{1}{2-\sin (x)}}\le 1$.
  Il ne reste plus qu'à tout multiplier par -1, ce qui fournit le résultat : $-1\le {\displaystyle \frac{1}{\sin (x)-2}}\le -{\displaystyle \frac{1}{3}}$

• Encadrer une fraction
• Exercices corrigés de la partie "Implication entre inégalités"

Exercice. Montrer : $\forall x\in ℝ,\mid \sin (x)\mid \le \mid x\mid$

Utiliser le théorème précédent en différenciant les deux cas : sur $[0,x]$ pour $x\ge 0$, et sur $[x,0]$ pour $x\le 0$

Exercices.
1- Montrer : $\forall x\in [0,\pi /2]{\displaystyle \frac{2}{\pi }}x\le \sin (x)\le x$

On remarquera que la fonction $-\sin$ est convexe sur $[0,\pi /2]$.

2-Montrer : $\forall x\in {ℝ}^{-},1+x\le e^x\le 1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$

Pour l'inégalité de gauche, s'intéresser à la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle (convexe, car sa dérivée seconde est strictement positive) au point $(0,1)$... Pour l'inégalité de droite, utiliser le point 2 de cette page.

Exercice. Montrer que : ${\displaystyle \frac{1}{\ln 3}}\le {\begin{array}{c}\int \end{array}}_2^3{\displaystyle \frac{1}{\ln x}}dx\le {\displaystyle \frac{1}{\ln 2}}$

Remarquer que la fonction à intégrer est monotone...

Exercices de déduction (I).

• Fraction simple
• Inverse

Exercices de déduction (II). Un pot pourri d'inégalités à résoudre

Exercices (III). Inégalités classiques et méthodes.

1. Inégalité triangulaire :
   Soient $x$ et $y$ deux réels quelconques. Montrer que : $\mid \mid x\mid -\mid y\mid \mid \le \mid x+y\mid \le \mid x\mid +\mid y\mid$
   

   - Pour l'inégalité de droite, élever au carré (raisonner par équivalence)
   $$- Pour l'inégalité de gauche, reprendre l'inégalité de droite (qui a donc été démontrée ) en écrivant que $x+y-y=x$..., puis permuter $x$ et $y$.

   
   On pourra aussi démontrer la double inégalité presque identique : $\mid \mid x\mid -\mid y\mid \mid \le \mid x-y\mid \le \mid x\mid +\mid y\mid$
2. Inégalité de Bernoulli.
   $x\ge 0$ et $n\in \mathbb{N}$. Montrer, par récurrence, que $(1+x{)}^n\ge 1+\mathrm{nx}$
3. Inégalité de Cauchy-Schwarz.
   Soit $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, montrer que pour tout entier naturel $i$, $1\le i\le n$ et pour tout couple $(x_i,y_i)\in {ℝ}^2$ : $\mid {\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i\mid \le \left({\sum }_{i=1}^n{x}_i^2{)}^{1/2}\right({\sum }_{i=1}^n{y}_i^2{)}^{1/2}$
   

   On développera l'expression ${\sum }_{i=1}^n(x_i+\lambda y_i{)}^2$ où $\lambda \in ℝ$, en faisant apparaitre un trinôme du second degré en $\lambda$, sur lequel on fera une remarque judicieuse.

4. Une application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
   Soient $x_1$, $x_2$ et $x_3$ des réels tels que $x_1+x_2+x_3=2$ et $x_1^2+x_2^2+x_3^2=12$.
   Quelle est la valeur maximale de $x_3$?
   

   L'inégalité de Cauchy-Schwarz avec deux termes, élevée au carré, donne : $(x_1{y}_1+x_2{y}_2{)}^2\le (x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2)$
   Puis faire : $y_1=y_2=1$.

   $x_3={\displaystyle \frac{10}{3}}$

5. Une autre application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
   Soient $x_1$, $x_2$ et $x_3$ des réels strictement positifs. Montrer que : $(x_1+x_2+x_3)({\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}+{\displaystyle \frac{1}{x_3}})\ge 9$
   

   $(x_1+x_2+x_3)({\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}+{\displaystyle \frac{1}{x_3}})\ge (\sqrt{x_1}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x_1}}}+\sqrt{x_2}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x_2}}}+\sqrt{x_3}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x_3}}}{)}^2$

Exercice 1. Montrer que : $\forall x\ge 0,\forall y\ge 02\sqrt{\mathrm{xy}}\le x+y$

Puisque c'est possible, élever au carré, puis conclure.

Exercice 2. Montrer que : $\forall x\in {ℝ}_{+}^{*},(1+{\displaystyle \frac{1}{x}}{)}^x<e<(1+{\displaystyle \frac{1}{x}}{)}^{x+1}$ Indication : Théorème des accroissements finis

On applique le théorème des accroissements finis à la fonction $f$ : $t\to \ln (t)$ sur l'intervalle fermé [$x,x+1$].
Il existe $c$ dans le même intervalle mais ouvert, tel que $\ln (x+1)-\ln (x)={\displaystyle \frac{1}{c}}$.
Donc : $\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})={\displaystyle \frac{1}{c}}$. Or ${\displaystyle \frac{1}{x+1}}<{\displaystyle \frac{1}{c}}<{\displaystyle \frac{1}{x}}$.
On a ainsi : ${\displaystyle \frac{1}{x+1}}<\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})<{\displaystyle \frac{1}{x}}$. Puis :$x\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})<1<(x+1)\ln (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})$.
Et on conclut avec la croissance stricte de la fonction exponentielle.

Exercice 3. Montrer que : $\forall x\in -[1,1],4x^3-3x\in [-1,1]$

On veut demontrer que $-1\le 4x^3-3x\le 1$. Il est naturel d'introduire les deux fonctions $P$ et $Q$
$P:x\to 1-4x^3+3x$, et $Q:x\to 4x^3-3x+1$. On remarque que $P(1)=0=Q(-1)=0$ ce qui permet de les factoriser.
On arrive à : $P(x)=(1-x)(2x+1{)}^2,$et $Q(x)=(1+x)(2x-1{)}^2$. On en déduit que $P$ et $Q$ sont positives sur l'intervalle, puis le résultat.

Exercice 4. Soit $n\in \mathbb{N},n\ge 2$. Montrer que $\forall (x_1,x_2,y_1,y_2)\in {ℝ}_{+}^4\sqrt{x_1{x}_2}+\sqrt{y_1{y}_2}\le \sqrt{(x_1+y_1)(x_2+y_2)}$

On va raisonner par équivalence, et utiliser le fait que deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre.
(1) $\iff x_1{x}_2+y_1{y}_2+2\sqrt{x_1{x}_2{y}_1{y}_2}\le (x_1+y_1)(x_2+y_2)\iff (\sqrt{x_1{y}_2}-\sqrt{x_2{y}_1}{)}^2\ge 0$

Exercice 5. Soient $a,,b,\epsilon$ des réels. Démontrer les équivalences suivantes.

1. $(\forall \epsilon >0,\mid a\mid \le \epsilon )\iff (a=0)$
2. $(\forall \epsilon >0,\mid a\mid <\epsilon )\iff (a=0)$
3. $(\forall \epsilon >0,a\le b+\epsilon )\iff (a\le b)$
4. $(\forall \epsilon >0,a<b+\epsilon )\iff (a\le b)$

Les implications sont immédiates. Pour les réciproques de 1 et 3, on démontre la proposition contraposée.
1- La contraposée $a\ne 0\Rightarrow$ il existe $\epsilon >0$ tel que $\mid a\mid >\epsilon$ est vraie, par exemple, pour $\epsilon ={\displaystyle \frac{\mid a\mid }{2}}$.
2- On remarque que $(\forall \epsilon >0,\mid a\mid <\epsilon )\Rightarrow (\forall \epsilon >0,\mid a\mid \le \epsilon )$, et on est ramené au (1)
3- La contraposée $a>b\Rightarrow$ il existe $\epsilon >0$ tel que $a>b+\epsilon$ est vraie, par exemple, pour $\epsilon ={\displaystyle \frac{a-b}{2}}$.
4- On remarque que $(\forall \epsilon >0,a<b+\epsilon )\Rightarrow (\forall \epsilon >0,a\le b+\epsilon )$, et on est ramené au (3)

Exercice 6. Majoration d'une suite par l'étude d'une fonction.
Montrer que la valeur maximale de la suite définie par : $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*},u_n=n^{1/n}=\sqrt[n]{n}$ est $3^{1/3}=\sqrt[3]{3}$
On utilisera l'étude de la fonction définie sur ${ℝ}_{+}^{*}$ par $f(x)={\displaystyle \frac{\ln (x)}{x}}$

L'idée est naturelle de prendre le log de l'expression pour ôter la puissance n-ième de $\sqrt[n]{n}$.
$\ln (u_n)=\ln (\sqrt[n]{n})={\displaystyle \frac{\ln (n)}{n}}$. D’où l'introduction de la fonction $f$ indiquée, que l'on va étudier.
$f$ est dérivable sur ${ℝ}_{+}^{*}$ et $f\prime (x)={\displaystyle \frac{1-\ln (x)}{x^2}}$. On voit, en faisant le tableau de variation que $f$ est croissante sur [$0;e$], décroissante sur [ $e,+\mathrm{\infty }$].
De plus, $f(2)=\sqrt[2]{2},f(3)=\sqrt[3]{3}$ et, comme $\sqrt[2]{2}<\sqrt[3]{3}$, on obtient le résultat.

Exercice 7. Inégalités dans $ℂ$.

1. Soit $z\in ℂ$, montrer que : ${\displaystyle \frac{\mid \mathrm{Re}(z)\mid +\mid \mathrm{Im}(z)\mid }{\sqrt{2}}}\le \mid z\mid \le \mid \mathrm{Re}(z)\mid +\mid \mathrm{Im}(z)\mid$
2. Soit $n\in \mathbb{N}$. Montrer que : $\forall z\in ℂ,\mid z\mid \ne 1$ : $\mid {\displaystyle \frac{1-z^{n+1}}{1-z}}\mid \le {\displaystyle \frac{{1-\mid z\mid }^{n+1}}{1-\mid z\mid }}$

1 - Notons tout d'abord que tout se passe dans ${ℝ}^{+}$. Appelons $a$ le partie réelle de $z$ et $b$ sa partie imaginaire. Pour l'inégalité de gauche, il faut démontrer que $\mid a\mid +\mid b\mid \le \sqrt{2}\mid z\mid$. En élevant tout au carré (possible) on arrive après calcul à: $[\mid a\mid -\mid b\mid {]}^2\ge 0$. Ce qui est vrai et prouve la première inégalité. La seconde se traite à peu près de la même façon.
2 - Dans l'expression ${\displaystyle \frac{1-z^{n+1}}{1-z}}$, valide puisque $\mid z\mid \ne 1$ et donc que $z\ne 1$, on reconnait la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique, de premier terme 1 et de raison $z$. Donc ${\displaystyle \frac{1-z^{n+1}}{1-z}}=1+z+z^2+z^3+\dots +z^n$. En utilisant l'inégalité triangulaire, cela permet alors d'écrire :
$\mid {\displaystyle \frac{1-z^{n+1}}{1-z}}\mid \le 1+\mid z\mid +\mid z{\mid }^2+\mid z{\mid }^3+\dots +\mid z{\mid }^n={\displaystyle \frac{{1-\mid z\mid }^{n+1}}{1-\mid z\mid }}$

Exercices. À résoudre sans étude de fonctions, mais en utilisant les propriétés de l'ordre de $ℝ$.

1. Résoudre l'inéquation : $\mid x+1\mid \le 3$, en séparant les cas suivant le signe de $x+1$.
2. Quelles sont les valeurs de $x$ vérifiant : $0\le {\displaystyle \frac{2x}{x^2-2}}\le 1$
   

   Attention au signe du dénominateur !

   $S=[1-\sqrt{3};0]\cup [1+\sqrt{3};+\mathrm{\infty }[$

3. Quelles sont les valeurs de $x$ vérifiant : ${\displaystyle \frac{x-2}{x+2}}\le x^2-2x-1$
   

   Attention au signe du dénominateur !

   $S=]-\mathrm{\infty };-\sqrt{6}]\cup ]-2;0]\cup [\sqrt{6};+\mathrm{\infty }[$.

4. Quelles sont les valeurs de $x$ vérifiant : $0\le \sqrt{x^2+4}-\sqrt{x^2+2}\le 1$
   

   $S=ℝ$.

Exercice. Résoudre les inéquations :

1. $\sqrt{\mid x^2-5x+4\mid }>2\mid x-1\mid$
2. $\sqrt{x^2-5x+4}>2(x-1)$

La racine carrée est-elle définie ?

1- S= $]0,1[\cup ]1,{\displaystyle \frac{8}{5}}[$
$$ 2- S$=]-\mathrm{\infty },1[$

Exercices.

1. Inéquations avec valeurs absolues
2. Trouver l'erreur !
3. Inéquations à résoudre

Exercice 1. Résoudre et discuter suivant les valeurs du paramètre $m$, l'inéquation : ${\displaystyle \frac{m}{x-2}}$ > ${\displaystyle \frac{m-1}{x+1}}$
Voici la solution par étape :

On regroupera tout dans le membre de gauche, en réduisant au même dénominateur. On obtient une fraction $F$ qui doit être strictement positive.

Quelles sont les méthodes ?

Considérons une fonction $f$ de $ℝ$ sur $ℝ$, par exemple $f(x)=\mid {\displaystyle \frac{x^2+2{\mathrm{xe}}^{-x}-9}{x\sin x-4}}\mid$.
Est-elle bornée si $x$ varie dans un intervalle donné $I$, par exemple $I=[1;3]$ ? On peut évidemment faire une étude complète de la fonction (bien compliquée dans ce cas particulier), mais souvent une estimation suffit, encore qu'elle ne fournisse pas toujours le meilleur encadrement possible...

Dans notre exemple, $f$ se présente comme une fraction : pour majorer $f$, nous allons (comme il a été vu dans la page Borner une fraction )

• majorer le numérateur
  • La manière la plus simple de majorer est d'utiliser l'inégalité triangulaire : le numérateur est alors majoré par $3^2+2\times 3+9=24$, en effet pour tout $x$ positif (c'est le cas), $\exp (-x)$ est compris entre 0 et 1.
  • On peut aussi travailler un peu plus, et remarquer que si $x$ est dans $[1;3]$, alors on a : $e^{-3}\le e^{-x}\le e^{-1}$ et $2\le 2x\le 6$. Donc en multipliant les inégalités (tout est positif), on obtient : $2e^{-3}\le 2x{e}^{-x}\le 6e^{-1}\le 3$
    On en déduit que $x^2+2x{e}^{-x}$ est compris entre (1+ $e^{-3}$) et 12, puis que $x^2+2x{e}^{-x}-9$ est compris entre ( $1+e^{-3}-9$) et $3$.
    Comme $1+e^{-3}-9\simeq -7,95$, le numérateur en valeur absolue est majoré par 8. La majoration est meilleure, mais nous avons dû travailler un peu plus.
• minorer le dénominateur
  Sur l'intervalle $[1;3]\subset [0;\pi ]$, la fonction sinus est positive donc $x\sin x$ est compris entre $0$ et $3$ et le dénominateur, qui vaut alors $4-x\sin x$, est minoré par $4-3=1$.

En conclusion, on peut dire que, sur $[1;3]$, la fonction est majorée par 24 et même par 8 si on a été plus courageux.

Remarque. Toutefois, si l'on trace la courbe représentative de la fonction $f$ (ici avec Geogebra), on obtient ceci :

La représentation graphique ci-dessus de la fonction $f$ montre qu'en réalité sur $[1;3]$ elle est comprise entre 0 et un peu moins de 2,5...
Ceci ne remet pas en question le travail fait, mais prouve que l’encadrement obtenu par ces majorations et minorations est assez large mais c'est souvent suffisant.

Majoration sous condition

Limite finie d'une suite

La définition suivante est formellement la même dans $ℝ$ ou $ℂ$, avec cette différence : la notation $\mid a\mid$ désigne une valeur absolue dans $ℝ$ et un module dans $ℂ$.

Graphiquement, cela signifie qu'une valeur $\epsilon$ étant fixée, alors au-delà du rang $n_0$ (qui dépend du choix de $\epsilon$), tous les termes de rang supérieurs à $n_0$ sont dans l’intervalle [ $l-\epsilon ,l+\epsilon$] dans le cas réel, et dans le disque de centre $l$ et de rayon $\epsilon$ dans le cas complexe.

Dans le graphique ci-dessous, pour une suite $u_n$ convergeant vers 2, on a tracé les points de coordonnée $(n,u_n)$ pour $0\le n\le 20$. On constate que rapidement tous les points se situent à l'intérieur de la bande entre $y=1,5$ et $y=2,5$.

Limite infinie d'une suite

Remarque.

Un certain nombre de suites "de référence" tendent vers $+\mathrm{\infty }$. Par exemple, les suites $(n^{\alpha }{)}_{n\in \mathbb{N}}$ (avec $\alpha >0$); $(\ln (n){)}_{n\in \mathbb{N}}$; $(\sqrt{n}{)}_{n\in \mathbb{N}}$; $(e^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ... Ces suites seront largement utilisées pour des majorations ou minorations de suites plus complexes, en utilisant les théorèmes de comparaison, voir par exemple un Théorème de comparaison pour les suites .

Théorème de comparaison pour les suites

Cet énoncé résulte facilement de la définition d'une suite tendant vers l'infini.

En présence d'une suite $(v_n)$ dont on pense qu'elle tend vers $+\mathrm{\infty }$, on peut chercher à la minorer par une des suites de référence rappelées à la page précédente, ou une suite connue dont on connait le comportement, et on conclura par ce théorème.

Une définition de limite

Commentaires sur cette définition

1. Cette définition de la limite fait appel, on le voit, à des inégalités, ce qui justifie sa présence dans ce document qui, pour autant, n'est pas consacré aux questions de limite.
2. On notera que la valeur de la limite $L$ est ici supposée connue.

En attendant d'avoir des théorèmes sur les limites, on voit que pour démontrer qu'une fonction admet la limite $L$ quand $x$ tend vers $x_0$, on est amené, pour un $\epsilon$ donné, à trouver un nombre $\alpha$ (qui n'est pas unique, bien sûr) vérifiant certaines propriétés. La méthode est décrite à cette page .

Méthode

Une lecture approximative de la définition de la limite peut conduire à une direction de travail peu précise. Certains la réduisent au schéma suivant : si $x$ tend vers $b$, alors $f(x)$ tend vers $L$, mettant la priorité au comportement de $x$, qui va entraîner celui de $f(x)$. La démarche de la démonstration est exactement inverse.

Revenons à un peu de logique mathématique. Dans une implication $𝒫\Rightarrow 𝒬$, le but final est la proposition $𝒬$, c'est donc ce que l'on doit avoir en perspective dès le début.

• On cherche donc à majorer $\mid f(x)-L\mid$ par $\epsilon$, sous certaines conditions sur $x$. Pour cela, il peut être très utile de chercher un majorant plus simple de $\mid f(x)-L\mid$ faisant apparaitre la quantité $\mid x-b\mid$. On vise à obtenir une inégalité du type $\mid f(x)-L\mid \le k\mid x-b\mid$, avec $k\in {ℝ}^{+}$.
• Grace à cette inégalité, pour un $\epsilon$ donné et pour obtenir l'inégalité cherchée, il suffit d'avoir $k\mid x-b\mid \le \epsilon$. Une valeur de $\alpha$ en découle : $\alpha ={\displaystyle \frac{\epsilon }{k}}$.
  (On notera que cette valeur de $\alpha$ dépend du $\epsilon$ que l'on s'est donné). Ce qui achève la preuve.

On a ainsi trouvé un intervalle $[b-\alpha ,b+\alpha ]$ sur l'axe des abscisses (et qui doit être dans l'ensemble de définition) dans lequel il suffit de prendre les valeurs de $x$ dans A, pour avoir $\mid f(x)-L\mid \le \epsilon$, c'est à dire pour que que $f(x)$ soit dans l'intervalle $[L-\epsilon ,L+\epsilon ]$.

Un exemple simple

Approche de la définition de la limite

• On peut utiliser l' aide graphique pour voir ce qui se passe sur la courbe.
• Il ne s'agit pas de résoudre une inéquation mais d'appliquer la technique de majoration vue ici en faisant intervenir la distance entre $x$ et ${\displaystyle \frac{1}{4}}$. Il n'est pas important de trouver le meilleur voisinage.
• L'intervalle cherché doit être contenu dans le domaine de définition de la fonction, ici l'intervalle ne doit pas contenir 0. Il est donc contenu dans $]0;+\mathrm{\infty }[$

Prenons $f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$ et transformons la différence, en valeur absolue, de $f(x)$ et de $f\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)$ :

$\mid {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}-2\mid =\mid {\displaystyle \frac{1-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}\mid =\mid {\displaystyle \frac{1-4x}{(1+2\sqrt{x})\sqrt{x}}}\mid =4\mid {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}-x}{(1+2\sqrt{x})\sqrt{x}}}\mid$

Maintenant nous allons majorer $K(x)=4\mid {\displaystyle \frac{1}{(1+2\sqrt{x})\sqrt{x}}}\mid$ par une constante sur un intervalle plus petit contenu dans $]0;+\mathrm{\infty }[$. D'une part $1+2\sqrt{x}$ est minoré par 1, d'autre part si $x$ est supérieur à ${\displaystyle \frac{1}{16}}$ [Hypothèse que l'on fait pour être au voisinage de ${\displaystyle \frac{1}{4}}$, mais que l'on devra contrôler ultérieurement], alors ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$ est inférieur à 4, donc

pour tout $x>{\displaystyle \frac{1}{16}},K(x)=4\mid {\displaystyle \frac{1}{(1+2\sqrt{x})\sqrt{x}}}\mid$ est majoré par $16$, et $\mid {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}-2\mid$ par $16\mid {\displaystyle \frac{1}{4}}-x\mid$ .

Remarque : si $x$ vérifie $\mid {\displaystyle \frac{1}{4}}-x\mid <{\displaystyle \frac{{10}^{-3}}{16}}$, $x$ vérifie aussi $x\ge {\displaystyle \frac{1}{16}}$. La majoration est donc valide et nous avons montré l'implication suivante :

$\mid {\displaystyle \frac{1}{4}}-x\mid \le {\displaystyle \frac{{10}^{-3}}{16}}$ $\Rightarrow$ $\mid {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}-2\mid \le {10}^{-3}.$

En résumé, si on choisit $x$ entre ${\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{{10}^{-3}}{16}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{{10}^{-3}}{16}}$, on peut dire que ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$ vaut 2 à 10^-3 près ou que l'erreur est au plus de 10^-3. Le travail central ici est le travail de majoration, en effet ensuite la détermination de l'intervalle est immédiate. Nous pouvons utiliser ce travail de majoration pour affirmer :

$\forall \epsilon >0,$ $\exists \alpha >0,\mid {\displaystyle \frac{1}{4}}-x\mid \le \alpha$ $\Rightarrow$ $\mid {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}-2\mid \le \epsilon .$

Comme notre majoration n'est valide que pour $x$ supérieur à ${\displaystyle \frac{1}{16}}$, condition qui est vérifiée si $x$ appartient à l'intervalle $[{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{8}};{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}]$ ; on impose la condition $\alpha \le 3/16$. Pour que l'implication soit vraie, il suffit donc de prendre $\alpha =\inf ({\displaystyle \frac{3}{16}},{\displaystyle \frac{\epsilon }{16}})$.

Interprétation graphique